Onoryant ha scritto:Fu dapprima Cardano, nel XVI secolo, a dare l’impulso per i numeri complessi allo scopo di risolvere equazioni di secondo grado anche nel caso di discriminanti negativi.
Sinceramente posso dirti che ai matematici dell'epoca non poteva fregare di meno di risolvere le equazioni di secondo grado con determinante negativo, questo è un punto che mi pare importante sottolineare. Tra l'altro questa è una cosa molto sensata perché, dato che erano nel contesto dei soli numeri reali (anche se non conoscevano bene neppure quelli), non avrebbe molto senso che qualcuno abbia sentito il bisogno di trovare delle soluzioni anche a quel tipo di equazioni, questo bisogno si può provare solo a posteriori, una volta che si conoscono i numeri complessi, IMHO.
Piuttosto i numeri complessi sono entrati nella pratica matematica in quel periodo perché era stata trovata la formula risolutiva di equazioni di terzo (e quarto) grado e nella formula compaiono delle radici quadrate che possono anche essere negative. A quel punto i matematici dell'epoca avrebbero potuto benissimo dire che in quel caso le soluzioni non erano accettabili perché c'erano radici di numeri negativi, come d'altra parte facevano già con quelle di secondo grado. Il problema è che si sono accorti che in alcuni casi facendo i calcoli queste radici di numeri negativi si semplificavano e davano un numero reale che, quando lo sostituivano nell'equazione si accorgevano che era effettivamente una soluzione. A quel punto non potevano certo liquidare la questione con questa superficialità!
Da quel momento in poi ogni matematico, volente o nolente, ha dovuto imparare a familiarizzare con questi nuovi (per l'epoca) enti matematici, che però sono stati a lungo ritenuti alla stregua di assurdità che semplicemente facevano tornare dei calcoli, li vedevano come un "male necessario" insomma.
Bombelli (facciamo conoscere i matematici un po' sconosciuti, specialmente gli italiani!
) fu il primo a descrivere, nella sua "Algebra (1572)", in modo accurato come funzionassero le operazioni (elementari) tra numeri complessi, anche se ancora non le considerava quantità veramente esistenti, le usava solamente da un punto di vista formale per risolvere delle equazioni, scartando il risultato finale qualora non si fossero semplificate tutte le radici dei numeri negativi che comparivano.
Il primo a trattarli in modo significativamente (direi filosoficamente) diverso, ovvero di considerarli di uguale dignità degli altri numeri è stato nientemeno che Eulero nel '700, che ha ottenuto profondi progressi nella comprensione dei numeri complessi, in particolare la
formula di Eulero, che ha come caso particolare l'identità di Eulero, una delle più note formule della matematica e ritenuta tra le più belle dalla maggior parte dei matematici (ma non da me
).
Ulteriori progressi importanti nella comprensione della struttura dell'insieme dei numeri complessi si sono avuti all'inizio dell''800 grazie a Argand, ma soprattutto a Gauss che hanno capito che si può pensare all'insieme dei numeri complessi come un piano dove la somma corrisponde alle traslazioni e la moltiplicazione ad una rotazione composta con un riscalamento, in particolare la moltiplicazione per $i$ è semplicemente la rotazione di $90$ gradi in modo tale che facendola due volte viene la riflessione rispetto allo $0$. Probabilmente è stato grazie a questa interpretazione che tutti i matematici hanno cominciato a considerare i numeri complessi come dei normalissimi numeri, sia a livello di calcoli (cosa che era stata completamente acquisita) che a livello filosofico. Gauss in particolare ha dimostrato un risultato molto profondo sui numeri complessi che è il teorema fondamentale dell'algebra, addirittura in vari modi!
La storia sarebbe ancora lunga, si continua ancora oggi a cercare di capire sempre meglio i numeri complessi (in particolare penso alla geometria complessa, di cui non so moltissimo), ma si esce dallo spirito della domanda iniziale, quindi mi fermo qui, sperando di aver trasmesso i motivi dell'introduzione dei numeri complessi nella matematica e riassunto in modo efficace i punti salienti del rapporto che i matematici hanno avuto nella storia con i numeri complessi.