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Ok, mi è chiaro il messaggio.

Che ne pensi di un approccio "iniziale" con gli iperreali (quantomeno alle superiori) per poi passare (più o meno gradualmente) alla modalità "classica"? Detto così è un po' rozzo, ovviamente andrebbe fatto in un modo didatticamente "efficiente" (da quel che ho capito Keisler fa così); quali controindicazioni vedresti (in primis la confusione, presumo … )?

Comunque questa

gugo82 ha scritto:… preferire approcciare ai limiti in $ text()^**RR $ piuttosto che in $ RR $ può avere i suoi limiti.

è bellissima

Cordialmente, Alex

gabriella127 ha scritto:Credo, da quello che ho letto, che l'uso dell'analisi non standard nella didattica sia perché si pensa che gli infinitesimi siano più intuitivi delle definizioni dell'analisi standard, tipo $epsilon-delta$.

Questo probabilmente è vero, ma finché i programmi scolastici non virano in tal senso non credo sia una buona idea scrivere un libro poco utilizzabile.

axpgn ha scritto:Che ne pensi di un approccio "iniziale" con gli iperreali (quantomeno alle superiori) per poi passare (più o meno gradualmente) alla modalità "classica"? Detto così è un po' rozzo, ovviamente andrebbe fatto in un modo didatticamente "efficiente" (da quel che ho capito Keisler fa così); quali controindicazioni vedresti (in primis la confusione, presumo … )?

Detto in maniera “tradizionalista”, questo approccio non rende giustizia alla vera natura dell’Analisi Matematica la quale, citando qualcuno che non ricordo, fondamentalmente è l’arte delle disuguaglianze (e ciò si comprende proprio da subito guardando in faccia la definizione di limite -o di estremo inferiore e superiore, se vuoi-).

axpgn ha scritto:Comunque questa

gugo82 ha scritto:… preferire approcciare ai limiti in $ text()^**RR $ piuttosto che in $ RR $ può avere i suoi limiti.

è bellissima

La cosa bella è che (contrariamente al solito) non l’ho pensata.

gugo82 ha scritto:Tuttavia, non tutte le proposizioni espresse in linguaggio “d’ordine superiore” che sono vere in $RR$ risultano vere in $text()^** RR$, il che (detto sempre rozzamente) significa che non tutte le frasi che contengono quantificatori agenti su insiemi e vere in $RR$ sono automaticamente vere in $text()^**RR$.

Fai un esempio di una formula al second'ordine che non è vera in $text()^**RR$?

Mi sembra che rimuoverne alcune (per esempio la proprietà archimedea) sia proprio lo scopo che la teoria si pone; per questo non lo chiamerei un "difetto".

Ho letto un po' di cose, e mi sembra che

- il fatto che l'estensione \(^*\mathbb C\) di \(\mathbb R\) fatta dalle coppie \((x,y)\) con somma componente per componente e prodotto dato da \((a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\) sia un campo si scrive al primo ordine, e quindi, per il principio di transfer, deve essere vero per \(^*\mathbb R\); così come il fatto che \(^*\mathbb C\) è un campo algebricamente chiuso. Tu cosa ti stavi chiedendo?

-

sebbene in $CC$ l’Algebra sia bellissima e sebbene su $CC$ si possa mettere una struttura d’ordine (anche totale), essa non si tiene insieme con le operazioni di campo.

Lo stesso accade con i numeri iperreali? Boh, lo devo dimostrare.

In un campo totalmente ordinato i quadrati sono maggiori di zero, no?

- gli unici enunciati al second'ordine che mi vengono in mente sono in positivo, ossia cose che non si possono dimostrare false al primo ordine, e quindi hanno speranza di esistere in \(^*\mathbb R\)... non ne trovo uno negativo!

@Gugo: Per gli ultraprodotti penso esistano risultati generali che dimostrano che producono "buone estensioni" (insomma sono uno strumento piuttosto standard per creare estensioni elementari¹). Inoltre, i filtri sono usati anche in topologia come estensione del concetto di successione ed c'è molta teoria a riguardo (anche se personalmente mi piace più la teoria delle net che quella degli ultrafiltri). Insomma, visto dal punto di vista della teoria dei modelli, tutti questi aspetti sembrano banali (anche se il concetto di limite è certo più intuitivo di qualsiasi cosa della teoria dei modelli ).

Non sono comunque un amante dell'analisi non standard. Il problema del concetto di limite viene infatti risolto abbastanza elegantemente in topologia generale. La versione analitica, espressa con le dimostrazioni \(\varepsilon\)-\(\delta\) non la trovo parimenti apprezzabile, ma funge comunque da introduzione alla definizione più generale. L'analisi non-standard ha solo il vantaggio di dare un senso al concetto di infinitesimo e quindi di rendere meno vaghe e informali tutta una serie di affermazioni che vengono propinate agli studenti con la speranza che capiscano qualcosa di un concetto ritenuto complesso. D'altra parte il concetto di infinitesimo non è poi così intuitivo negli iperreali.

[EDIT] OK, era esattamente quello che intendevi con equivalenza delle teorie del primo ordine. Certo che la mia teoria dei modelli è proprio arrugginita...

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