Suggerimento in merito alla moltiplicazione

[@melia]

Come ti ho già detto, ma che sembra tu non abbia compreso, se $4*0,13$ lo leggi "4 volte 0,13" la proprietà commutativa non serve, è già insita nel linguaggio.

[gugo82]

Volendo essere piuttosto tranchant, andando avanti il ragazzo imparerà che c’è molto nella Matematica elementare che non si conforma alla sua intuizione o alle sue volizioni.
Tutto sta ad abituarsi a questo fatto, a farsene una ragione ed a trovare comunque strategie per risolverei problemi.

Inoltre, non vedo cosa ci sia da stupirsi se, come ovvio che sia, è l’idea stessa di numero decimale (o di sottomultiplo) in sé porta l’idea di divisione.

[axpgn]

Sono d'accordo, però non vedo come si possa concepire, ad esempio, il numero \(\displaystyle 0,13 \) se non pensando che si tratta del \(\displaystyle 13 \)% di \(\displaystyle 1 \). La percentuale si calcola con una divisione. Non vedo un modo per parlare di razionali prescindendo realmente dal concetto di divisione.

Non è così, rileggi il mio post dove ti ho dimostrato che posso definire (e usare) i razionali definendo solo l'addizione e la moltiplicazione

Possiamo limitarci a porla così: qualcuno riesce a descrivere il significato dello \( \displaystyle 0,13 \) di \( \displaystyle 4 \) senza parlare di divisioni né percentuali (che richiedono comunque una divisione)?

L'ho fatto prima ma non hai letto il post … il numero decimale $0.13$ corrisponde al razionale $(13, 100)$, il numero $4$ corrisponde al razionale $(4, 1)$ e $0.13 * 4$ corrisponde a $(13, 100) * (4, 1) = (13*4, 100*1) = (52, 100) = (13, 25)$.
Nessuna divisione.

… E ammesso che si riesca a definirlo, riuscite poi a calcolare effettivamente quel numero senza ricorrere implicitamente ad una divisione?

Anche qui confondi "calcolare" con "rappresentazione decimale".
Qui sopra ho calcolato $0.13 * 4$ senza usare la divisione e quello che ho trovato è il risultato esatto (cioè il razionale $(13, 25)$, non puoi dire che non va bene solo perché non corrisponde alla TUA idea di numero razionale.
Gli antichi non usavano i numeri decimali eppure i conti li facevano lo stesso.
Usavano le frazioni ma questo non significa che facessero necessariamente delle divisioni, per loro $1/3$ era "un terzo" non "uno diviso tre" che non avrebbe avuto alcun significato (nell'ottocento era ancora prevalente l'uso delle frazioni nei conteggi piuttosto che i decimali)

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Il bambino sembra essere decisamente intelligente. Gli potresti dire molto semplicemente, a livello intuitivo, che $4x0.5$ è come dire 'quattro ripetuto mezza volta', in linea con il suo linguaggio delle moltiplicazioni, e che in effetti coincide con una divisione a metà, sono due modi diversi di vedere la stessa cosa. Così penso risponderesti alla sua 'domanda filosofica', che non è affatto sciocca, denota capacità di pensiero.

[tmox]

Inoltre, non vedo cosa ci sia da stupirsi se, come ovvio che sia, è l’idea stessa di numero decimale (o di sottomultiplo) in sé porta l’idea di divisione.

Concordo, ma non tutti si direbbe.

Come ti ho già detto, ma che sembra tu non abbia compreso, se $4*0,13$ lo leggi "4 volte 0,13" la proprietà commutativa non serve, è già insita nel linguaggio.

E' mia opinione che la libertà con la quale scegli come leggere quel prodotto derivi dalla sua proprietà commutativa, e che non sia il tuo linguaggio a determinarla.

il numero decimale $ 0.13 $ corrisponde al razionale $ (13, 100) $, il numero $ 4 $ corrisponde al razionale $ (4, 1) $ e $ 0.13 * 4 $ corrisponde a $ (13, 100) * (4, 1) = (13*4, 100*1) = (52, 100) = (13, 25) $

Io ho capito perfettamente la definizione della quale fai uso, ma con questo approccio basico hai ottenuto un numero razionale \(\displaystyle (13,25) \) definibile come frazione in "\(\displaystyle 13/25 \)". Non è questo il problema concettuale. Anche lui sa farlo (con notazioni diverse). Tuttavia per ottenere l'espressione decimale a partire da una frazione debbo ricorrere ad una divisione. Il problema è quindi solo rimandato. Il mio ragazzo imposta un conto mediante numeri decimali, e si aspetterebbe che il risultato sia espresso nel medesimo modo. Volendo soddisfare questa sua necessità, il prodotto \(\displaystyle 4 · 0,5 \) richiede di valutare la forma decimale di \(\displaystyle 4/2 \). Cioè alla fine dei conti abbiamo valutato la metà di \(\displaystyle 4 \) mediante una divisione. Saranno anche due modi di scrivere lo stesso numero, ma alla fin fine dalla divisione non si scappa.

Gli antichi non usavano i numeri decimali eppure i conti li facevano lo stesso.
Usavano le frazioni ma questo non significa che facessero necessariamente delle divisioni, per loro $ 1/3 $ era "un terzo" non "uno diviso tre" che non avrebbe avuto alcun significato (nell'ottocento era ancora prevalente l'uso delle frazioni nei conteggi piuttosto che i decimali)

Aspetto storico molto interessante, e che arricchisce anche me. Però con un ragazzo come lui è anche necessario essere pragmatici.
Non possiamo chiedere di disegnare una retta lunga \(\displaystyle 34/127 \) di metro. E' da pazzi. Non mi stupisce che nel tempo la notazione decimale abbia preso posto.

Il tuo messaggio mi ha spinto però a ragionare sul fatto che la frazione può essere intesa come un operatore (calcolare \(\displaystyle 4/5 \) di litro comporta una moltiplicazione ma anche una divisione: ovvero valutare la quinta parte di \(\displaystyle 4 \) litri).
Mi chiedo per la prima volta se anche un numero decimale, che è soltanto una rappresentazione alternativa di una frazione, possa definirsi un operatore.

D'altronde:

\(\displaystyle 4 · 0,5 = 4 · (1 : 2 ) \)

Ecco che, in quest'ottica, il "numero" \(\displaystyle 0,5 \) può essere sostituito da due interi interagenti mediante una divisione, tramutando così il conto in un'espressione che contiene anche una divisione.
Mi chiedo allora se sia opportuno sciogliere la sua perplessità considerando che un numero razionale in forma decimale altro non è che un "oggetto" che rappresenta la divisione tra due numeri interi… divisione che può quindi essere sostituita al numero decimale stesso, giustificando l'inevitabile divisione alla quale andiamo incontro. In questo senso il decimale appare più come un "simbolo" da interpretare, che non un numero che può essere usato in modo semplice nella moltiplicazione. Resta il fatto che lui \(\displaystyle 4 · 0,5 \) non riesce proprio ad intenderlo mediante la definizione di moltiplicazione. Lo stesso per \(\displaystyle 0,3 · 0,7 \), o magari \(\displaystyle 2 · 0,89 \). E' come se questa scrittura non avesse alcun senso a meno di accogliere il concetto di divisione. Lui pretende di svolgere la moltiplicazione \(\displaystyle 4 · 0,5 \) come somma ripetuta di \(\displaystyle 4 \), ma questo naturalmente non è fattibile.

La somma ripetuta sarebbe possibile scrivendo \(\displaystyle 0,5 · 4 = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 \)
Ma non invertendo i numeri. Pertanto percepisce una "cricca" nella definizione di moltiplicazione.

E qui mi rifaccio a gabriella127:

Il bambino sembra essere decisamente intelligente. Gli potresti dire molto semplicemente, a livello intuitivo, che $ 4x0.5 $ è come dire 'quattro ripetuto mezza volta', in linea con il suo linguaggio delle moltiplicazioni, e che in effetti coincide con una divisione a metà, sono due modi diversi di vedere la stessa cosa. Così penso risponderesti alla sua 'domanda filosofica', che non è affatto sciocca, denota capacità di pensiero.

Suggerimento molto valido, che in realtà ricalca il mio modo di vederla. Proverò ad insistere su questo aspetto.
Prevedo però che un conto come \(\displaystyle 0,5 · 0,168 \) renderebbe nuovamente ostico non contemplare una percentuale, o quanto meno una frazione che esprima quel numero mediante numeri interi. Inoltre vedremo se ammettere che sono "due modi di vedere la stessa cosa" non contribuisca ad accrescere la sua confusione sul fatto che divisione e moltiplicazione perdano di distinzione.

In attesa di rivedere il ragazzo martedì, vi ringrazio di cuore per la partecipazione a questo mio post. Qualunque altro suggerimento (o, perchè no, dissenso) sarà ben accetto.

[gugo82]

Non riesco a capire qui:

In questo senso il decimale appare più come un "simbolo" da interpretare, che non un numero che può essere usato in modo semplice nella moltiplicazione.

Innanzitutto, in Matematica tutto è simbolo è tutto va interpretato, anche se a volte la convenzionalità delle cose lascia la mente libera dalle preoccupazioni.
Ad esempio, $11 + 10 = 101$ è un’operazione svolta correttamente anche se con le convenzioni adottate usualmente non si direbbe. Perché?

In secondo luogo, non vedo cosa ci sia di difficile nell’usare $0.5$ in una moltiplicazione. La moltiplicazione in colonna ha le sue regole e $4*0.5$ non mi pare faccia eccezione… Certo che se continuo a considerare la moltiplicazione solo come mi hanno insegnato in seconda elementare ($n * m = text(prendo ) n text( esattamente ) m text( volte)$) senza evolvere, non ne esco.

Inoltre, i numeri interi sono numeri decimali con parte decimale nulla (o, se vuoi complicarti la vita, numeri con parte decimale uguale a $bar(9)$), quindi non c’è fondamentale distinzione tra le cose.

[gabriella127]

Inoltre vedremo se ammettere che sono "due modi di vedere la stessa cosa" non contribuisca ad accrescere la sua confusione sul fatto che divisione e moltiplicazione perdano di distinzione.

Ancora una volta il ragazzino non è scemo. Ha colto una cosa vera, che c'è collegamento tra moltiplicazione e divisione. Che dirgli? In questi casi, molto dipende dalla conoscenza proprio 'a pelle' della persona che ci sta di fronte, cosa che tu fai, e noi possiamo fare solo un po' a distanza. Gli si potrebbe dire che in effetti ha ragione (tocca dirgli la verità), ha colto un collegamento tra moltiplicazione e divisione, anche se gliele hanno presentate come operazioni distinte. Però di non preoccuparsi al momento perché questa sua domanda sarà chiarita più in là. Caso mai gli si può dare qualche cenno di spiegazione per non frustrarlo, ma se e come lo puoi sapere solo tu conoscendo il ragazzino.

[axpgn]

Io ho capito perfettamente la definizione della quale fai uso, ma con questo approccio basico hai ottenuto un numero razionale \(\displaystyle (13,25) \) definibile come frazione in "\(\displaystyle 13/25 \)"

No, non so più come ripeterlo …
Sei tu che continui a volerci vedere una frazione o un numero decimale, ma con la convenzione che ho adottato la divisione non c'è né ci sono frazioni e numeri decimali.
Certamente c'è collegamento fra le tre rappresentazioni ma le ultime due non sono necessarie, puoi farne completamente a meno; con ciò non voglio dire che non sia utile usare frazioni e decimali, anzi, ma solamente che puoi farne a meno se ti dà fastidio il concetto di divisione. Punto.

Tuttavia per ottenere l'espressione decimale a partire da una frazione debbo ricorrere ad una divisione. … … … Però con un ragazzo come lui è anche necessario essere pragmatici.

Ma allora non è più un problema "filosofico" e "concettuale" di cui parlavi prima e che sembrava fosse la preoccupazione del ragazzo; dovresti metterti d'accordo con te stesso …
Allora diventa un "banale" problema tecnico di "equivalenza di rappresentazione" ...

Cordialmente, Alex