Suggerimento in merito alla moltiplicazione

[tmox]

Buongiorno.

Mi trovo nella circostanza di aiutare un bambino nello svolgimento di alcuni esercizi di matematica basilare, ovvero moltiplicazioni e divisioni. Lui si trova in prima media ma ha diverse difficoltà, pertanto sto cercando di assisterlo. Recentemente ha mosso un'obiezione sulla definizione di moltiplicazione e divisione che ho trovato interessante. Vi propongo la questione per cercare un suggerimento su come rispondere a questo giovane studente.

Si voglia eseguire il seguente conto: \(\displaystyle 4 · 0,5 =2 \)
Esso coinvolge un numero razionale, inferiore ad uno.

Il bambino ha difficoltà nel concepire il senso di questa moltiplicazione senza ricorrere ad una divisione. Trova pertanto che questa "scrittura" della moltiplicazione sia in sostanza inutilizzabile, e che tradisca la definizione stessa di moltiplicazione. Lui necessita infatti di ricorrere alle seguenti strade per effettuare questo tipo di calcolo:

1) Sfruttare la proprietà commutativa della moltiplicazione, ponendo:

\(\displaystyle 4 · 0,5 = 0,5 · 4 = 0,5+0,5+0,5+0,5 \)

Con questa strategia il bambino riesce a ricondursi alla definizione di moltiplicazione come "somma ripetuta di un numero", dando un senso logico al problema in esame.

2) Scrivere lo \(\displaystyle 0,5 \) come frazione, ponendo:

\(\displaystyle 4 · 0,5= 4 · 1/2 = 4/2 = 2 \)

Con questa seconda strada si concepisce lo \(\displaystyle 0,5 \) come la metà di uno. Il problema viene letto quindi come "prendere il numero \(\displaystyle 4 \) metà volta" e pertanto quella che appariva una moltiplicazione diviene di
fatto una divisione.

L'obiezione mossa riguarda quindi il fatto che la scrittura "\(\displaystyle 4 · 0,5 \)" non può essere "sfruttata" ne concepita in alcun modo se non mediante una manipolazione che faccia ricorso alla proprietà commutativa (dove prendere \(\displaystyle 0,5 \) per \(\displaystyle 4 \) volte acquista finalmente di significato) oppure trasformare la moltiplicazione in una divisione (prendere \(\displaystyle 4 \) per metà volta, ovvero dividerlo per \(\displaystyle 2 \)).
Effettivamente questa considerazione mi ha posto in imbarazzo, in quanto moltiplicazione e divisone vengono insegnate come due operazioni ben distinte, l'una l'inverso dell'altra. Nel momento in cui si moltiplica un numero per un altro numero inferiore ad \(\displaystyle 1 \), io stesso ricorro mentalmente ad una divisione e pertanto la sintassi relativa alla moltiplicazione sembra perdere di giustificazione.

Naturalmente il conto potrebbe essere condotto mediante le regole relative al prodotto di numeri con la virgola, ma è il concetto di moltiplicazione che si tramuta mentalmente in una divisione che turba il giovane in questione.
In altre parole il bambino afferma: perché mai scrivere \(\displaystyle 4 * 0,5 \) se tanto necessito di invertire i numeri (proprietà commutativa) oppure devo effettuare una divisione (l'inverso della moltiplicazione)?

Voi cosa rispondereste?

[gio73]

Che usi la strategia che gli è più congeniale, l'importante è che gli venga il risultato giusto

I media?

$4*0,5$ equivale a chiedere: "quanti soldi hai se nel portamonete ci sono 4 monete da 50 centesimi?"

Mi sembra più che sufficiente IMHO

[tmox]

$4*0,5$ equivale a chiedere: "quanti soldi hai se nel portamonete ci sono 4 monete da 50 centesimi?"

Io piuttosto farei "0,50 € per quattro volte, ergo 0,50*4".

Cmq è una questione concettuale la sua, non ha problemi ad applicare quelle strategie. Gli da fastidio che una moltiplicazione possa diventare una divisione, come se questo "infrangesse" il fatto che moltiplicazione e divisione vadano distinte come due operazioni differenti (e in genere inverse). Ha l'impressione che scriviamo una moltiplicazione ma in realtà risolviamo una divisione, e non per scelta, ma perché non facendolo non sapremmo risolvere quel conto, a meno di invertire i numeri in gioco mediante la proprietà commutativa.

[axpgn]

Spiegagli che esistono i numeri razionali, i quali hanno la caratteristica che per ognuno di essi esiste il "reciproco" ovvero quel numero che moltiplicato per il suo "originatore" dà $1$.
Naturalmente dovrai spiegargli come si ottengono e puoi provare con le coppie di interi in cui definisci le operazioni di somma e moltiplicazione.

[@melia]

Non vedo la necessità della proprietà commutativa, il linguaggio usato per leggere una moltiplicazione racchiude al suo interno la commutatività.
$4*0,50$ si può leggere in due modi
1) "4 per 0,50" quindi in pratica la metà di 4,
2) "4 volte 0,50" quindi scrivere appunto per 4 volte l'addendo 0,50.

[tmox]

$4*0,50$ si può leggere in due modi
1) "4 per 0,50" quindi in pratica la metà di 4,
2) ...

Ti rispondo come direbbe lui: "nel valutare la metà di 4 non ricorri forse ad una divisione? Ovvero 4:2. Eppure si parlava di svolgere una moltiplicazione".

[axpgn]

L'hai letto il mio commento? Spiegagli che esistono i razionali che sono ALTRI numeri rispetto ai naturali ovvero che non esistono solo questi ultimi ma altre tipologie di numeri per scopi che i naturali non riescono a coprire ...

[tmox]

L'hai letto il mio commento? Spiegagli che esistono i razionali che sono ALTRI numeri rispetto ai naturali ovvero che non esistono solo questi ultimi ma altre tipologie di numeri per scopi che i naturali non riescono a coprire ...

Effettivamente ho pensato al fatto che i numeri razionali, che possono essere espressi come frazione mediante numeri interi, esigono di conoscere il concetto di "divisione". La quantità 0,5 é di fatto esprimibile come 1/2, pertanto introduce inevitabilmente una divisione.

Sotto quest'ottica, scrivendo 4 x 0.5 si nasconde in realtà un operazione che comprende necessariamente anche una divisione, a causa dell'entità razionale di 0,5.

Infatti scrivendo 4 x 1/2 possiamo moltiplicare i numeratori mediante la solita definizione di "somma ripetuta di un numero" e dopodiché dividere il tutto per 2. É però un ragionento che ho fatto tra me e me, e non so se é il modo piú corretto per sbigliare questa sua perplessità.

Il fatto é che di base ha ragione: scriviamo una moltiplicazione ma alla fine ci ritroviamo a dividere. Questo lo rende confuso in quanto non vede piú una differenza tra moltiplicare e dividere.
Possibile che nell'insieme Q dei numeri razionali la moltiplicazione goda di una definizione piú "forbita"?

[axpgn]

Effettivamente ho pensato al fatto che i numeri razionali, che possono essere espressi come frazione mediante numeri interi, esigono di conoscere il concetto di "divisione".

Per niente.

Un modo di definire i razionali è quello con le coppie di naturali (sarebbe meglio con gli interi ma semplifico)
Ovvero ogni numero razionale è rappresentato da una coppia ordinata di numeri naturali $(a,b)$ in cui $b$ è diverso da zero e sull'insieme di queste coppie vengono definite l'uguaglianza, la somma e la moltiplicazione nel seguente modo.
Due razionali $(a,b)$ e $(c,d)$ sono uguali se $a*d=b*c$.
La somma di due razionali è definita così: $(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$
La moltiplicazione di due razionali è definita così: $(a,b)*(c,d)=(ac,bd)$
Il numero $0.5$ non è che la rappresentazione decimale del razionale $(1,2)$ nel modo sopraddetto.

Come vedi la divisione non compare mai.

Cordialmente, Alex

[tmox]

Per niente.

Il numero $0.5$ non è che la rappresentazione decimale del razionale $(1,2)$ nel modo sopraddetto.

Come vedi la divisione non compare mai.

Sono d'accordo, però non vedo come si possa concepire, ad esempio, il numero \(\displaystyle 0,13 \) se non pensando che si tratta del \(\displaystyle 13 \)% di \(\displaystyle 1 \). La percentuale si calcola con una divisione. Non vedo un modo per parlare di razionali prescindendo realmente dal concetto di divisione.
Se vogliamo calcolare \(\displaystyle 4 · 0,13 \) , stiamo cercando quel numero che sta a \(\displaystyle 4 \) come \(\displaystyle 13 \) sta a \(\displaystyle 100 \). Abbiamo di nuovo un rapporto, una divisone.

Possiamo limitarci a porla così: qualcuno riesce a descrivere il significato dello \(\displaystyle 0,13 \) di \(\displaystyle 4 \) senza parlare di divisioni né percentuali (che richiedono comunque una divisione)? Credo (e spero) che una simile performance sarebbe sufficiente a convincere il mio giovanotto del fatto che la scrittura "\(\displaystyle 4 · 0.13 \)" sia degna di essere utilizzata senza doverla necessariamente invertire con la proprietà commutativa oppure convertire in una divisione.

… E ammesso che si riesca a definirlo, riuscite poi a calcolare effettivamente quel numero senza ricorrere implicitamente ad una divisione? Si potrebbe pensare alla moltiplicazione in colonna, ma le regole relative al posizionamento della virgola "nascondono" ancora una volta un inevitabile riferimento al concetto di "rapporto" tra numeri (decine, centinaia, migliaia).

Non credo sia così semplice, per questo ho trovato interessante la domanda. E' forse più filosofica che non numerica, ma credo abbia il suo perché.