Sulle geometrie non euclidee

[Cantor99]

Salve a tutti.

Sto svolgendo un tirocinio in un liceo e dovrei tenere una lezione di approfondimento sulle geometrie non euclidee in una terza classe. So anche che questa lezione potrà far parte di un materiale simil-tesina per la loro maturità e quindi vorrei far qualcosa di semplice ma non troppo banale né nozionistico. Visto che mi è stata data piena libertà, chiedo a voi un parere sulle mie idee.

Idee (sparse)
Mi piacerebbe partire disegnando alla lavagna una linea dritta con i classici puntini sospensivi ai suoi estremi, una circonferenza e una sedia (stilizzata)¹ e chiedere loro se avessi per caso disegnato un punto o una retta euclidea. Sperando così di catturare un po' l'attenzione, rivelerei loro che le definizioni degli enti primitivi nascono in maniera diretta dalle proprietà derivate da un sistema di assiomi: insomma, quello che noi disegniamo è un modello della geometria euclidea².

Dopo aver enunciato i principali assiomi di Euclide, inizierei una piccola digressione sul V postulato e sul perché questo può essere negato per creare nuove geometrie. Da qui una rapida rassegna delle principali geometrie non euclidee (iperbolica, ellittica, sferica e proiettiva) con annesse proprietà "bizzarre".

Avrei deciso anche di presentare un po' più in dettaglio la geometria sferica visto che il suo modello (i punti sono i punti della sfera e le rette geodetiche della sfera) mi sembra facilmente rappresentabile e presenta punti e rette molto diversi dai corrispettivi euclidei.

Infine, mi piacerebbe anche un po' giustificare l'introduzione di queste geometrie mostrando loro qualche accenno di applicazione (avevo pensato all'occhio e alla macchina fotografica per la geometria proiettiva e, più in generale, alla fisica)
Venendo al punto, vi pare troppo o poco per un'ora e poco più? Ho detto qualcosa di sbagliato (in effetti di formale so ben poco sulle geometrie non euclidee)? Avete magari qualche materiale da cui prendere spunto? Consigliate di preparare qualcosa di scritto (slide o un documento)?

Grazie in anticipo.

Edit: corretta un'imprecisione

---

Note

1. tavoli, sedie e boccali di birra di hilbertiana memoria ↑
2. Proprio adesso sto preparando un esame di logica: è giusta una tale affermazione? ↑

[solaàl]

Spiega loro cosa c'è dietro questo video: https://www.youtube.com/watch?v=kEB11PQ9Eo8

[Cantor99]

Incredibile, lo farò vedere sicuramente!
Grazie mille!

[kaspar]

Qualche osservazione di natura "didattica" (anche se non sono un professore), prevalentemente sul tono della presentazione.

[...] Sperando così di catturare un po' l'attenzione, rivelerei loro che le definizioni degli enti primitivi nascono in maniera diretta dalle proprietà derivate da un sistema di assiomi: insomma, quello che noi disegniamo è un modello della geometria euclidea2.

Questo tra di noi è acccettabile perché sappiamo di cosa parliamo. Ma un liceale non ha la sensibilità necessaria per capire che "ci sono degli assiomi (formule ben formate in un dato linguaggio, bla, bla...) e c'è un universo del discorso (gli oggetti che effettivamente sono il pasto e la sostanza degli assiomi)". Gli assiomi di Euclide non parlano necessariamente di "quegli" oggetti. E se il mio universo del discorso fossero [non mi viene in mente nessuna idea], e imponessi a quegli assiomi a parlare di queste? Il discorso comunque diventerebbe troppo complesso e andrebbe oltre ai tuoi scopi. Io mi fiderei (aiuto...) della Geometria fatta gli anni precedenti. Farei un breve recap degli assiomi della Geometria Euclidea.

Insomma è chiaro che il livello è quello della discussione, della narrazione divulgativa, della chiacchera data l'età degli studenti. Nonostante ciò puoi far apprezzare la natura dialettica della cosa: le Geometrie non Euclidee sono nate essenzialmente dopo l'ennesimo tentativo di dimostrare il V postulato per assurdo (gli ultimi tentativi risalgono a un paio di secoli fa al massimo). Essenzialmente qualcuno si è rotto e si è chiesto cosa succede non assumendo il V postulato, questa volta non alla stregua di una dimostrazione per assurdo, ma giusto per vedere. In effetti succedono tante cose. L'esempio della Terra va bene: con osservazioni empiriche si nota che il V postulato non vale, ma che gli altri sì (ovviamente gli enti geometrici primitivi cambiano, la modellizzazione...); con la conseguenza poi che ci sono triangoli con tre angoli retti!

La parte delle applicazioni concrete va bene, dopo tutto "Euclide ha inventato la Geometria Euclidea in uno spazio che non lo è". In fin dei conti non ti devi sbilanciare troppo, non è una lezione formale, perché il tono deve tenersi leggero, con qualche impegno da parte dell'ascoltatore ovviamente.

Consigliate di preparare qualcosa di scritto (slide o un documento)?

Delle slides vanno bene, così le lasci anche a loro in vista di maturità od altro. Un documento troppo articolato potrebbe essere esagerato: magari delle pagine (3/4 facciate) in cui c'è il tuo talk, così magari uno si può ripercorrere la presentazione. Potresti accodare una bibliografia non troppo impegnativa (e non troppo poco): 2/3 libri divulgativi che possono leggere.