Come spieghereste intuitivamente a persone che non hanno interessi scientifici ma che si domandano come mai in matematica ci sono determinate regole e non altre?
Per esempio:
1) L'ordine delle operazioni?
Mi viene in mente che se chiedo di andare al supermercato e di comprare $2$ casse di Peroni da $6$ e altre $2$ bottiglie di Peroni a parte, è necessario prima moltiplicare $2\cdot6$ e poi aggiungere $2$ altrimenti i conti non tornano ed è per questo che $2\cdot6+2=12+2=14$ e non è $2\cdot 6+2=2\cdot 8=16$; altri modi per spiegarlo?
2) La presenza di numeri puri nelle equazioni?
È semplice far capire, per esempio, i principi di equivalenza delle equazioni, spiegando che se ho due scatole chiuse ma so che in entrambe ho $8$ pere (quindi le scatole sono "uguali" come strumento per introdurre il concetto stesso di equazione e la pera è la variabile), dividendo le pere all'interno delle due scatole per uno stesso numero (possibilmente $2$, $4$ o $8$ per aumentare la comprensione intuitiva) continua ad essere vero che le scatole sono "uguali"; tuttavia se vogliamo metterci in mezzo i numeri, come spiegare che significa che una scatola ha $8 \text{pere} +1$?
3) La moltiplicazione "ad archetto" $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$, a parte corredare con esempi numerici?
Penso solo a ridurre il concetto di moltiplicazione a quello di somma, ma comunque mi porta a dover dire di "sommare $a+b$ volte la quantità $c+d$ che secondo me rimane astratto; quindi tanto vale andarci veramente di esempi numerici se non ci sono altre buone idee.
4) Perché l'area del quadrato è lato per lato?
Si potrebbe impostare immaginando di ricondursi all'idea di moltiplicazione come somma: si pensa che bisogna sommare il lato (pensandolo come spessore infinitesimo) per tutta la lunghezza dell'altro lato (dunque sommarlo, visto che ha spessore infinitesimo, esattamente tante volte quanto è lungo l'altro lato) vedendo l'area come "riempita" da tutti questi lati di spessore infinitesimo e perciò si arriva a lato per lato. Altre idee?
Grazie!