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Per assurdo, supponiamo $sqrt(2) in QQ$ e sia $\nu := min \{ n \in NN:\ n sqrt(2) in NN\}$.
Chiaramente $nu (sqrt(2) - 1) = nu sqrt(2) - nu in NN$ (perché $1<sqrt(2)$) e:

$nu (sqrt(2) - 1) sqrt(2) = 2nu - nu sqrt(2) in NN$;

ma ciò è assurdo, perché $nu (sqrt(2) - 1) < nu$ (perché $sqrt(2)<2$).

Per assurdo, supponiamo che $sqrt(2) = n/m$ con $n > m >= 1$ e $"MCD"(n,m) = 1$.
Per il Teorema di Bezout, esistono $x,y in ZZ$ tali che $nx + my = 1$, sicché $(nx+my)^2 = 1$ ossia $n^2 x^2 + 2nmxy + m^2 y^2 =1$ e, dato che da $sqrt(2) = n/m$ segue $n^2 = 2m^2$, per sostituzione otteniamo:

$m (2mx^2 + 2nxy + my^2) = 1$

cosicché $m=1$ (perché l'unico divisore positivo di $1$ è esso stesso). Dunque $n^2 = 2 < 4 = 2^2$, ossia $n<2$; ma ciò è assurdo, perché $n>m=1$ e non esistono naturali compresi tra $1$ e $2$.

dan95 ha scritto:Supponiamo che $\root[n]{2}$ è razionale per $n>2$, quindi esistono $a,b$ interi positivi coprimi tali che $\root[n]{2}=a/b$ da cui segue $2b^n=a^n$, ovvero $b^n+b^n=a^n$ contro l'ultimo Teorema di Fermat.

megas_archon ha scritto:Era una dimostrazione elementare o era una di quelle cose tipo "dal teorema di Fermat segue che \(\sqrt[n]{2}\) è irrazionale (ma per $n=2$ bisogna usare un risultato piu forte)"?