Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda Shocker » 16/01/2018, 11:53

Salve,

vorrei approfondire l'algebra omologica e iniziare a vedere un po' di teoria delle categorie :-D .
Avete qualche testo da consigliarmi? Stavo pensando ad "Algebra Chapter: 0" di Aluffi, dovrebbe coprire sia teoria delle categorie che un po' di algebra omologica. Qualcuno l'ha letto? Avete altri testi da consigliarmi?

Ciao!
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Re: Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda killing_buddha » 16/01/2018, 13:44

L'algebra omologica piu' intuitiva da imparare nasce in topologia algebrica; leggi "J. Vick - Homology theory" e "H. Sato - Algebraic Topology".

Se ti interessa l'algebra (per applicazioni alla teoria degli anelli, per la coomologia dei gruppi e roba del genere), leggi Rotman o Brown.
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Re: Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda Shocker » 16/01/2018, 21:26

Penso che leggerò il rotman, vick e sato. Grazie mille! :D
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Re: Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda killing_buddha » 16/01/2018, 22:56

Un altro libro che a me piace molto, che io ho letto tanto, è Hilton-Stammbach; sebbene sia molto vecchio è chiaro e propone la teoria in un modo molto agile. Contiene già di suo una introduzione alla teoria delle categorie (quella strettamente necessaria a fare algebra omologica, più qualche cosa qua e là). Unico neo, gli ultimi due capitoli sono un po' obsoleti.
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Re: Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda killing_buddha » 17/01/2018, 23:43

Ci sono anche dei libri che non ti consiglio di leggere, come ad esempio il Gel'fand - Manin "Methods of Homological algebra". Lo trovo confusionario, e sebbene insista a fare argomenti abbastanza moderni è scritto con poca cura. Ritengo sia anche superato, tecnicamente, da altri libri usciti dopo.

E' poi probabile che una moderata introduzione alle categorie abeliane possa aiutarti a cogliere quegli aspetti della definizione dell'omologia che sono peculiari del contesto, e quelli che invece sono conseguenze di un argomento generale. Per questo ti consiglio di leggere il capitolo sulle categorie additive e abeliane del secondo tomo del Borceux "Handbook of categorical algebra". Evita il capitolo del libro di Mac Lane "Categories for the working mathematician", e invece preferiscigli l'altro suo libro "Homology". E' vecchissimo, ma secondo me dà un'idea di cosa sia l'omologia singolare che non è possibile superare (Vick copia molto dallo stile delle dimostrazioni).
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Re: Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda Shocker » 19/01/2018, 17:44

Nuovamente grazie!

Un'altra domanda: per iniziare a studiare teoria delle categorie, anche solo a livello introduttivo, è necessario aver visto un po' di logica matematica e di teoria degli insiemi(ordinali, cofinalità)?
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Re: Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda killing_buddha » 19/01/2018, 17:51

No; all'inizio penso sia addirittura controproducente (rischi di perdere un sacco di tempo nelle questioni di teoria delle categorie che coinvolgono la teoria degli insiemi).

Serve molto di più avere una conoscenza molto efficace* dell'algebra astratta, della topologia generale, e della geometria.


* Una conoscenza è "efficace" se è basata su una grande quantità di problemi risolti. Imparare la teoria delle categorie e poi radicare questa conoscenza in degli esempi secondo me è possibile, ma rende le cose molto lente. (Anche imparare a fare gli esercizi senza strutturalismo è difficile e doloros, però: quindi il meglio che posso consigliarti è trovare un equilibrio dignitoso tra i due approcci). Se ti è chiaro in maniera solida il significato dell'algebra lineare, dell'algebra (gruppi, anelli, fatti base sui campi), della topologia generale che hai visto sinora, la teoria delle categorie avrà un enorme potere chiarificatore su "cosa siano" queste nozioni.
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Re: Algebra omologica e teoria delle categorie

Messaggioda Shocker » 17/02/2018, 17:20

Scusa il ritardo di un mese, ho dovuto dare degli esami.
Grazie per la risposta, non penso di possedere una conoscenza efficace della topologia generale, vedrò di migliorare facendo qualche esercizio dal Manetti o dal Viro.

Ciao :)
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