Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda polbos » 20/02/2018, 16:17

Immagine

Un disco cilindrico omogeneo di raggio r = 0.4m, massa M = 2kg e spessore trascurabile ai fini del problema, è appoggiato con la superficie laterale su una superficie orizzontale liscia.
Un corpo di massa m=M/4 approssimabile a un punto materiale, è fissato al disco in un punto C distante d = r/2 dal centro O del disco.
Il disco, inizialmente in quiete nella posizione di figura, con segmento OC formante con la verticale un angolo $\theta_0 = \pi /4rad$, viene lasciato libero di muoversi.
Sia $t=\tau$ l'istante in cui il punto c viene a trovarsi per la prima volta sulla verticale passante per O; in corrispondenza a tale istante si calcoli:

a) lo spostamento $\Delta$ del centro del disco;
b) il modulo V della velocità in O;
c) il modulo N della reazione sviluppata dal piano di appoggio.
d) Si determini il modulo V1 della velocità di O quando il segmento OC forma con la verticale un angolo $\theta_1 = \pi /6 rad$.



soluzioni:
Immagine


I punti a,b,c non mi danno problemi.

Per risolvere d, La mia idea è di usare la conservazione dell' energia. Ho fatto un tentativo ma mi viene una soluzione sbagliata: probabilmente sbaglio a scrivere l' energia cinetica del sistema rispetto all' angolo $\theta$.

Ho anche provato a partire dalla soluzione e fare la formula inversa. In questo modo ho trovato una formula per l' energia cinetica che però non riesco a spiegare.
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 20/02/2018, 18:27

Non ho capito se hai considerato la seguente relazione:

$[vec(v_C)=vec(v_O)+vec(\omega)xx(C-O)] ^^ [v_O gt 0] ^^ [\omega gt 0] rarr$

$rarr vec(v_C)=v_Oveci-1/2\omegarcos\thetaveci-1/2\omegarsin\thetavecj$

e se, oltre all'energia meccanica, hai conservato la quantità di moto lungo l'orizzontale.
Ultima modifica di anonymous_0b37e9 il 20/02/2018, 18:56, modificato 1 volta in totale.
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda polbos » 20/02/2018, 18:50

Ok provo a postare i miei conti spero si capiscano:

Immagine

Sì in teoria uso quella formula per esprimere la velocità in C.

La conservazione della quantità di moto la uso per ricavare la velocità in O ( lo avevo già fatto per il punto b )

Per venire la soluzione del libro l' energia cinetica dovrebbe essere:
$K=
\frac{M}{2}(\frac{m}{m+M} d \cos(\theta))^2 \dot \theta ^2 +
\frac{m}{2}(\frac{M}{m+M}d)^2 \dot \theta ^2 +
\frac{Mr^2}{4}( \cos^2(\theta)+(\frac{M}{m+M})^2\sin^2(\theta))\dot \theta ^2
$


Che è molto simile alla mia ma non riesco proprio a capire il terzo termine da dove salta fuori?
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 20/02/2018, 19:11

polbos ha scritto:... spero si capiscano ...

Si capisce poco. Preferisco scrivere le due equazioni risolventi:

Conservazione dell'energia meccanica

$1/2mgr(cos\theta_1-cos\theta_0)=1/2m(v_1-1/2\omega_1rcos\theta_1)^2+1/8m\omega_1^2r^2sin^2\theta_1+1/2Mv_1^2+1/4M\omega_1^2r^2$

Conservazione della quantità di moto lungo l'orizzontale

$Mv_1-m(v_1-1/2\omega_1rcos\theta_1)=0$
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda polbos » 20/02/2018, 23:35

La seconda equazione non dovrebbe avere il + in mezzo?
$Mv_1+m(v_1-1/2\omega_1rcos\theta_1)=0$
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 21/02/2018, 08:41

polbos ha scritto:La seconda equazione ...

Hai senz'altro ragione, visto che io stesso ho supposto $[v_O=v_1 gt 0] ^^ [\omega=\omega_1 gt 0]$.
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda polbos » 21/02/2018, 09:31

Ok perfetto.
Ho rifatto i calcoli partendo dalle tue equazioni e non viene il risultato del libro ma viene lo stesso che veniva a me, a questo punto penso che ci sia stato un errore di stampa.

Grazie mille per il tuo aiuto.
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda Shackle » 21/02/2018, 09:51

Salve, chiedo scusa, ma ho un dubbio.
L’attributo “liscio “ dato al piano mi lascia perplesso. Se il piano è liscio, la sua reazione può essere solo verticale verso l’alto, non ha componente orizzontale. Quindi non ci può essere spostamento laterale. Per me, il disco ruota sul posto, e si comporta come un pendolo composto, con punto di sospensione nel centro.
Quindi, dal testo va eliminato “liscio” . Il piano deve reagire anche con una forza orizzontale diretta verso destra, che non compie lavoro, quindi si conserva l’energia.

Spiegatemi se sbaglio.
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 21/02/2018, 10:26

Ciao Shackle. Lo spostamento orizzontale del disco dovrebbe essere dovuto alla reazione vincolare interna tra il punto materiale e il disco medesimo.
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Re: Disco con massa agganciata su un piano liscio

Messaggioda polbos » 21/02/2018, 10:55

Anche io all' inizio ero caduto in quel errore: visto che ci sono solo forze verticali non può muoversi orizzontalmente.
In effetti il centro di massa non si sposta orizzontalmente il problema che il centro di massa non è il centro del disco.
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