Landau ha scritto:... vorrei capire questa scorciatoia ...
Si deve procedere per sostituzione:
$x=t+L/2 rarr$
$rarr bar(x_n)=2/L\int_{0}^{L}xsin^2(n\pi/Lx)dx=$
$=2/L\int_{-L/2}^{L/2}(t+L/2)sin^2[n\pi/L(t+L/2)]dt=$
$=2/L\int_{-L/2}^{L/2}(t+L/2)sin^2(n\pi/Lt+n\pi/2)dt=...$
n dispari
$...=2/L\int_{-L/2}^{L/2}(t+L/2)cos^2(n\pi/Lt)dt=$
$=2/L\int_{-L/2}^{L/2}tcos^2(n\pi/Lt)dt+\int_{-L/2}^{L/2}cos^2(n\pi/Lt)dt=$
$=\int_{-L/2}^{L/2}cos^2(n\pi/Lt)dt=$
$=[L/(2n\pi)cos(n\pi/Lt)sin(n\pi/Lt)+t/2]_{-L/2}^{L/2}=L/2$
n pari
$...=2/L\int_{-L/2}^{L/2}(t+L/2)sin^2(n\pi/Lt)dt=$
$=2/L\int_{-L/2}^{L/2}tsin^2(n\pi/Lt)dt+\int_{-L/2}^{L/2}sin^2(n\pi/Lt)dt=$
$=\int_{-L/2}^{L/2}sin^2(n\pi/Lt)dt=$
$=[-L/(2n\pi)cos(n\pi/Lt)sin(n\pi/Lt)+t/2]_{-L/2}^{L/2}=L/2$
Landau ha scritto:... perché al posto di considerare l'hamiltoniana ...
Intanto, nell'integrale che permette il calcolo del valor medio, l'operatore hamiltoniano applicato all'autostato dell'energia si riduce alla moltiplicazione di quest'ultimo per il rispettivo autovalore:
$barH=\int_{0}^{L}bar(\psi_n)(x)hatH\psi_n(x)dx=$
$=\int_{0}^{L}bar(\psi_n)(x)E_n\psi_n(x)dx$
$=E_n\int_{0}^{L}bar(\psi_n)(x)\psi_n(x)dx=E_n$
Del resto, un sistema preparato in modo tale che il suo stato $\psi_n(x)$ sia un autostato dell'energia è costituto da infinite copie che, soggette alla misura dell'energia, forniscono tutte lo stesso valore $E_n$. Insomma, non dovrebbe stupire che il valor medio di una variabile aleatoria costante sia la costante medesima.
Landau ha scritto:\(...=2m\langle E_n\rangle=2mE_n \)
Inoltre, per non generare confusione, sarebbe stato meglio scrivere:
\(...=2m\langle \hat{H}\rangle=2mE_n \)