Commutatori [x,H] e [p,H]

Messaggioda Silence » 19/06/2019, 18:51

Buondì di nuovo, ho qui un esercizio che davvero non capisco. Mi viene data una particella in 1D, con energia potenziale V(x). Viene chiesto di trovare i commutatori $[hatx, hatH]$ e $[hatp, hatH]$

I problemi sono due:

1) so che il primo commutatore dovrebbe venire $ibarhhatp/m$, ma facendo i conti per esteso non riesco ad arrivare a questo risultato. Ho una soluzione, che però usa l'algebra dei commutatori; il che va bene, ma vorrei anche arrivarvi facendomi i conti.

2) Questo problema nasce dal metodo di risoluzione della prima domanda. In teoria so che se la particella è libera, allora $[hatp, hatH]=0$. Qui però c'è un potenziale che dà origine all'operatore $hatV=V(x)$... però nella domanda precedente, per far tornare i conti ha posto $hatV=0$, e allora sono confuso.

Allego un'immagine per comodità di lettura

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Grazie
Silence
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Re: Commutatori [x,H] e [p,H]

Messaggioda Andrea-.-'' » 20/06/2019, 16:45

Non so se nel frattempo hai risolto il problema, ad ogni modo visto che hai postato una foto, comincio da quella.

Come hai osservato $hat(x)$ e $hat(p)$ si comportano diversamente rispetto a $hat(V)(x)$ nella commutazione, il motivo è semplice:

l'operatore $hat(x)$ è semplicemente un operatore moltiplicativo che moltiplica per la variabile $x$
e $hat(V)(x)$ allo stesso modo è semplicemente una funzione di x, ma allora è ovvio che commutino.
Quindi non sta ponendo $hat(V)=0$

Al contrario $hat(p)$ fa la derivata rispetto a $x$ quindi si può capire perché non commuta con $hat(V)(x)$, come giustamente si vede nella foto
Andrea-.-''
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Re: Commutatori [x,H] e [p,H]

Messaggioda Silence » 20/06/2019, 22:39

Che sciocco, hai perfettamente ragione, grazie mille! Per quanto riguarda il primo punto, invece, devo per forza usare le proprietà dei commutatori? O posso per dire considerare $hatp^2=-barh^2partial^2/(partialx^2)$ e fare i conti per esteso? Perché il risultato, senza proprietà, non mi torna (è probabile che sbagli i conti, ma chiedo casomai il problema fosse il procedimento).
Silence
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Re: Commutatori [x,H] e [p,H]

Messaggioda Andrea-.-'' » 21/06/2019, 00:18

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spero ti sia utile :smt023
Andrea-.-''
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Re: Commutatori [x,H] e [p,H]

Messaggioda Silence » 21/06/2019, 13:36

Infinitamente, meglio che non ti dica l'errore che facevo... grazie mille!
Silence
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