Problema asta rigida

[Nash86]

Avrei qualche domanda da porvi circa il seguente problema.

Un'asta rigida sottile di massa M = 2,0 kg e lunghezza l = 60 cm è incernierata ad un estremo e può ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per tale estremo. L'asta è soggetta, oltre al peso, ad una forza costante F= 30 N diretta verticalmente verso il basso e applicata all'estremo libero (supponiamo, per fissare le idee, che l'estremo che fa da perno sia alla nostra destra e quello libero, su cui agisce F, sia alla nostra sinistra). L'asta è inizialmente ferma in posizione orizzontale.

a) Esprimere l'accelerazione angolare dell'asta in funzione dell'angolo di rotazione $\theta$ che l'asta forma con l'orizzontale.
b) Calcolare l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione centripeta del CM dell'asta appena inizia a muoversi.
c) Calcolare la velocità angolare dell'asta quando questa passa per la posizione verticale.

Ebbene, riguardo il punto b, avrei calcolato l'accelerazione tangenziale del centro di massa moltiplicando la sua distanza dall'asse di rotazione (metà della lunghezza dell'asta) per l'accelerazione angolare ricavata al punto a calcolata in $\theta = 0$ . Tuttavia, constatando che, all'inizio del moto, sia la forza F sia quella gravitazionale sono tangenziali alla traiettoria del CM, ho provato a calcolare l'accelerazione anche applicando la seconda legge di Newton al CM dell'asta, considerando le due forze appena citate, ottenendo, però, un risultato inferiore al precedente... sono quasi sicuro di non aver commesso errori nel calcolo del punto a, per cui la mia domanda è: perchè i due risultati sono diversi? E qual è, tra i due, il modo di procedere corretto? Se qualcuno avesse voglia di cimentarsi nei calcoli, la risposta al punto a dovrebbe essere $\99,5 cos(\theta)$ (che ripeto, dovrebbe essere corretta, ma se qualcuno volesse verificarlo, tanto meglio, perchè non ho, comunque, i risultati dell'esercizio...).
Inoltre, l'accelerazione centripeta è del CM all'inizio del moto è nulla? Proprio perchè entrambe le forze hanno direzione tangenziale alla traiettoria del CM all'inizio del moto? E' giusta queste deduzione o anche qui c'è qualcosa che mi sfugge (che, magari, si ricollega al punto a)?
Infine, ho un po' di difficoltà sul punto c... come imposto il principio di conservazione dell'energia con la forza F? La forza compie solo lavoro rotazionale o, vedendola applicata al centro di massa, le posso associare anche un lavoro traslazionale? Credo sia solo rotazionale, ma anche qui mi piacerebba avere una conferma... (Il risultato che mi viene è 14 rad/sec...)

[kniv7s]

Sì, anch'io ottengo il tuo stesso risultato

(Con $\theta$ l'angolo tra l'asta e la verticale)

$M_u = I_o*\ddot\phi$
$l/2sin\thetaMg+lsin\thetaF=(1/12Ml^2+M(l/2)^2)\ddot\varphi$
$\ddot\varphi = 2gsin\theta/(2l)+3Fsin\theta/(Ml)$
Con $\theta=\pi/2$ ===> $\ddot\varphi = 99.52 \text{rad}/s^2$

Riassumendo, tu vuoi sapere se sia corretto

$a_G = \varphi*l/2 = 29.85$

o

$a_G = g + F/m = 24.81$

giusto?

Penso sia corretta la prima. Sinceramente però non ti so spiegare perché il teorema del moto del centro di massa non sia applicabile.

Per quanto riguarda C) immagino si risolva con:

$mgl = mg(l/2)+1/2(1/3MR^2)\omega^2$

[Nash86]

Sì, il mio dubbio era proprio quello... ho poi pensato che, in realtà, sull'asta agisce anche la reazione vincolare del perno, la quale, però, correggimi se sbaglio, dovrebbe essere diretta verticalmente verso l'alto. Quindi, in tal caso, l'accelerazione calcolata sul centro di massa verrebbe ancora minore... credo anch'io che il risultato corretto sia quello che passa per l'accelerazione angolare, ma non so proprio perchè non tornino le cose...
Sull'accelerazione centripeta del CM, invece, cosa diresti? E' nulla? Se sì, perchè? Basta dire perchè la velocità angolare iniziale è nulla?
Per quanto riguarda la formula del punto c, il lavoro rotazionale della forza F non va tenuto in conto? Hai scritto il principio di conservazione dell'energia meccanica, ma non credo che l'energia meccanica si conservi, essendoci la forza F... non dovrei integrarne il momento rispetto alla posizione angolare? O sbaglio?

[kniv7s]

Sì, il mio dubbio era proprio quello... ho poi pensato che, in realtà, sulla'sta agisce anche la reazione vincolare del perno, la quale, però, correggimi se sbaglio, dovrebbe essere diretta verticalmente verso l'alto.
Sull'accelerazione centripeta del CM, invece, cosa diresti? E' nulla? Se sì, perchè? Basta dire perchè la velocità angolare iniziale è nulla?

Il perno dovrebbe essere riconducbile a una cerniera sferica, quindi di tale reazione vincolare si dovrebbe conoscere a priori solo il punto di applicazione.
Io credo che la reazione vincolare del perno sia radiale, ed è proprio la forza che fornisce la necessaria forza centripeta. L'accelerazione centripeta non può essere nulla, perché altrimenti non ci sarebbe alcun moto circolare!

Per quanto riguarda la formula del punto c, il lavoro rotazionale della forza F non va tenuto in conto? Hai scritto il principio di conservazione dell'energia meccanica, ma non credo che l'energia meccanica si conservi, essendoci la forza F... non dovrei integrarne il momento rispetto alla posizione angolare? O sbaglio?

Io ho assunto il vincolo ideale (nel qual caso l'energia meccanica si conserva).

Magari aspettiamo il contributo di qualcun altro.

[Nash86]

Sì, è ovvio che per il moto circolare ci voglia una forza e, quindi, un'accelerazione centripeta... ma il problema chiede l'accelerazione centripeta del CM QUANDO L'ASTA INIZIA A MUOVERSI ed è qui l'inghippo: quando inizia a muoversi c'è già la forza centripeta o no? D'altra parte, sappiamo che l'accelerazione centripeta istantanea di un punto in moto circolare è uguale al prodotto tra la velocità angolare istantanea e la sua distanza radiale dall'asse di rotazione... e all'inizio (quando il tuo angolo di rotazione vale $\pi/2$) la velocità angolare è nulla o no? Cioè, pur essendoci indubbiamente un'accelerazione centripeta (variabile) durante il moto, c'è anche all'inizio o no? Oppure per "inizio" si considera un istante immediatamente successivo a quello in cui l'asta è ferma, tale per cui la velocità angolare sta già cambiando? Come si calcolerebbe, secondo te, tale accelerazione in questo caso?
Non ho capito, invece, il tuo discorso sul vincolo ideale... il testo dice: "L'asta è soggetta, oltre al peso, ad una forza costante F= 30 N diretta verticalmente verso il basso". Perchè non tieni conto di tale forza F nel bilancio di energia? Eppure tale forza influisce eccome, direi, sulla velocità angolare finale dell'asta (che sarebbe indubbiamente inferiore in sua assenza, come hai ipotizzato tu...). Non capisco se te la sei dimenticata accidentalmente o se vi sia un motivo ben preciso per cui non la fai rientrare nel calcolo (ma non credo centri, comunque, il vincolo...).

[Nash86]

Nessuno che mi aiuti a risolvere i miei dubbi sui punti b e c (soprattutto b)?

[RuCoLa]

So che è passato molto tempo ma forse può ancora interessare qualcuno....
La legge di Newton applicata al centro di massa è valida, ma non hai considerato la forza (esterna) vincolare del perno, la quale non è solo radiale. Se le forze esterne fossero solo $F$ e la forza peso il centro di massa non potrebbe seguire una traiettoria circolare. Il vantaggio di usare il momento è che pur non conoscendo la direzione e l'intensità della forza vincolare, questa ha braccio nullo e quindi non serve conoscerla.