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Problema del pendolo semplice

24/07/2006, 11:18

Salve, vorrei chiedervi come si fa a trovare la famiglia di soluzioni per un moto determinato da questa equazione differenziale:
$\ddot{\theta}=\omega^2\sin\theta$
Di solito infatti si fa l'approssimazione delle piccole oscillazioni: $\sin\theta\approx\theta, \theta\to0$, ma senza fare questa approssimazione?

24/07/2006, 11:49

non è facile.

La soluzione di questa equazione differenziale porta agli "integrali ellittici", che non possono essere risolti per mezzo di integrazione elementare.

Un cenno a questo lo trovi qui:
http://fibonacci.dm.unipi.it/~bini/LSMC ... nchi_3.pdf
(pag. 9)

Aggiungo, visto che in questo sito c'è tutto, questo link con animazioni didattiche:
https://www.matematicamente.it/elce/index.htm

ciao

24/07/2006, 11:51

Ok vedrò un pò che cosa contengono quei link.
Grazie tante :D

24/07/2006, 13:37

In effetti però non è che che ci sia molto per quello che ho visto... Peccato. vedrò se trovo qualcosa di piu completo in rete, casomai se trovate qualcosa di interessante postate pure... :D

24/07/2006, 14:14

Sono riuscito a trovare qualcosa, ma in ogni caso, sbaglio o non si riesce a trovare delle soluzioni esatte? Mi sembra infatti che in ogni caso si ricorra all'integrazione "assitita" dallo sviluppo in serie di potenze di Taylor...

24/07/2006, 14:33

@Cavalli
Se puoi aspettare un po' ,in serata posto io qualcosa sull'argomento.
Ciao.
karl

24/07/2006, 14:43

Certo che posso aspettare... :wink: :smt023

24/07/2006, 14:50

@cavallipurosangue
"sbaglio o non si riesce a trovare delle soluzioni esatte?"
in attesa di karl, ti confermo che la tua sensazione è giusta.

Era d'altronde quello che intendevo dire quando affermavo che: "La soluzione di questa equazione differenziale porta agli "integrali ellittici", che non possono essere risolti per mezzo di integrazione elementare. "

ciao
OT e viva i bardigiani

24/07/2006, 14:58

Ecco infatti non avevo mai sentito parlare di integrali ellittici... 8-)

24/07/2006, 18:21

Immagine
E' una congerie di calcoli:se te la senti eccola qua'.
Se si tratta dell'equazione del pendolo e' meglio scriverla nella usuale forma
(1) $ddot(theta)=-g/Lsintheta$
dato che l'anomalia $theta$ e la forza F sono orientate in modo opposto.
La (1) si puo' anche scrivere cosi':
$(d(dot(theta))^2)/(dt)=(2g)/L(d(costheta))/(dt)$
Integrando e scegliendo opportunamente la costante d'integrazione:
$dot(theta)^2=(2g)/L(costheta-costheta_o)$
$(d theta)/(dt)=sqrt((2g)/L)sqrt(costheta-cos theta_0)$
Piu' che cercare di trovare $theta $ in funzione di t e' piu' interessante
tentare il calcolo del periodo del pendolo
$dt=sqrt(L/(2g))*1/(sqrt(costheta-costheta_o))d theta$
$tau=sqrt(L/(2g))*int_0^(theta_o)1/(sqrt(costheta-costheta_o))d theta$
dove $tau$ e' la durata della semioscillazione semplice e quindi il periodo T e':
$T=4sqrt(L/(2g))*int_0^(theta_o)1/(sqrt(costheta-costheta_o))d theta$
Osserviamo ora che e':
$costheta-costheta_o=2[sin^2((theta_o)/2)-sin^2((theta)/2)]$
(2) $int_0^1u^(2n)/(sqrt(1-u^2))du=(1*3*5*..(2n-1))/(2*4*6*..*(2n))*(pi)/2$
(questo integrale piglialo cosi' com'e' perche' non mi ricordo come si calcola ,forse
per parti)
Poniamo $sin((theta)/2)=usin((theta_o)/2)$ da cui $d theta=2sin((theta_o)/2)/(cos(theta//2))du=2sin((theta_o)/2)/sqrt(1-u^2sin^2(theta_o//2))du$
Pertanto , facendo qualche calcolo e ponendo $k=sin(theta_o//2)$,avremo:
$T=4sqrt(L/g)int_0^1 1/(sqrt(1-k^2u^2)*sqrt(1-u^2))du$
L'integrale in questione e' appunto l'integrale ellittico (di 2° specie ,credo) e non
e' fattibile elementarmente come avete gia affermato.
Poiche' $k^2u^2<1$ si puo' sviluppare uno dei 2 termini in serie binomiale:
$(1-k^2u^2)^(-1/2)=1+1/2k^2u^2+(1*3)/(2*4)k^4u^4+..+(1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..2n)k^(2n)u^(2n)+...$
Quindi il periodo diventa:
$T=4sqrt(L/g)int_0^1 1 /(sqrt(1-u^2))[1+1/2k^2u^2+(1*3)/(2*4)k^4u^4+..+(1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..*2n)k^(2n)u^(2n)+...]du$
Ovvero per la (2) :
$T=4sqrt(L/g)[(pi)/2+(1/2)^2(pi)/2k^2+((1*3)/(2*4))^2(pi)/2k^4+..+((1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..*2n))^2(pi)/2k^(2n)+...]$
Infine ,dato che $k=sin(theta_o//2)$ e mettendo in evidenza $pi/2$, si ha:
$T=2pisqrt(L/g)[1+(1/2)^2sin^2(theta_o)/2+((1*3)/(2*4))^2sin^4(theta_o)/2+..+((1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..*2n))^2sin^(2n)(theta_o)/2+...]$
Per $theta_o $ piuttosto piccolo si ottiene la celeberrima formula approssimata:
$T=2pisqrt(L/g)$
karl
Ultima modifica di karl il 26/07/2006, 06:21, modificato 2 volte in totale.
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