Il sistema costituito dal disco $D$ di raggio $r$ e dall'asta $OA$, mobile nel piano $Oxy$, è soggetto ai seguenti vincoli:
1) l'asta $OA$ ruota attorno al suo estremo $O$;
2) il disco $D$ rotola senza strisciare sull'asta $OA$ e rimane tangente all'asse $x$.
Devo trovare, in funzione di $\theta$ e della sua derivata prima, la velocità angolare del disco e la sua velocità di strisciamento sull'asse delle $x$.
Ritorno su questo esercizio ora che ho il PC nuovamente funzionante, perche' c'e un'incongruenza, molto grossa, se risolvo il sistema da 2 punti di vista diversi; e non riesco a trovarla. Non postero' noiosissimi sviluppi di calcoli che ho fatto su carta, e spero che i maggiorenti del Forum mi dicano dove sta l'errore che ovviamente commetto data la discordanza dei risultati.
Metodo 1
L'equazione che imposto si basa sulla considerazione che il disco si muove in un sistema di riferimento mobile, costituito dall'asta OA. Tale sistema abbia come versore caratteristico $vecmu$ ortogonale all'asta. Sia inoltre $vectau$ il versore ortogonale al segmento CH e $vecomega_A$ sia la velocita' angolare dell'asta.
Il disco ruota di velocita' angolare incognita $vecphi$, che assumo positiva in senso antiorario.
Nel sistema di riferimento mobile, la velocita' relativa del punto H deve essere
$vecv_R=dotphi*CH*vectau$
Mentre la velocita' di trascinamento di H deve essere
$vecv_T=omega_A*OH*vecj$
Si ottiene
$vecv_H=dotphi*CH*vectau+omega_A*OH*vecj$
la scomposizione lungo $vecj$, permette di trovare la relazione
$dotphi=-omega_A/(2sin^2theta)$ [1]
La scomposizione lungo $veci$, con la sostituzione di $dotphi$ appena trovata, permette di calcolare la velocita di strisciamento di H lungo l'asse x.
Ebbene...[1] e' sbagliata!!!! Non puo essere. Infatti per $theta=45$, cioe' con asta verticale, affinche' il corpo sia in condizioni di rotolamento puro sull asta OA, deve essere per forza $dotphi=0$. Tutti i punti del disco si devono muovere di velocita' $omegaR$ e il disco in quella condizione puo solo traslare, ma non ruotare. Cosa che, chiaramente, non si evince da [1].
Allora approcciamo il sistema dal punto di vista di C che se appartenente al disco, viaggia con velocita'
$v_C=v_H-dotphi*CH*vectau$
la quale velocita' deve essere eguagliata alla velocita' $omega*OCvecmu$ del punto C pensato appartenente all'asta.
Dall'eguaglianza $v_H-dotphi*CH*vectau=omega*OCvecmu$, tramite scomposizione su y, imponendo che la componente di $vecv_H$ sia nulla, si ottiene
$dotphi=-(omega_Acos2theta)/(2sin^2theta)$ [2]
La [2} sembra corretta per 2 motivi: primo perche e' il risultato del testo, a detta dell'OP
Secondo perche passa il test $dotphi=0$ quando l'asta e' verticale, cioe' a $theta=45$.
Chi trova l'errore? Io sinceramente non riesco a scovarlo. Ho pensato che l'errore nel primo metodo sia nel calcolo della velocita' di trascinamento...ma a guardarla nuovamente mi sembra corretta: se il disco fosse solidale con OA, mi sembra che quella sia la forma giusta per $vecv_T$
A voi la spiegazione