RR for dummies: dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze

Messaggioda navigatore » 15/12/2013, 23:12

Vorrei fare qualche semplice considerazione su “rallentamento degli orologi in moto” e “contrazione delle lunghezze” , che spesso sono fraintese quando si parla di Relatività Ristretta.
In quanto segue, limito le coordinate spaziali ad una sola, e dò per scontato che si sappia questo:

-dati due “eventi” A e B nello spaziotempo, il 4-intervallo spaziotempoale tra essi, o semplicemente “intervallo”, è invariante, cioe non dipende da chi osserva i due eventi. Qui osservare significa misurare.
E ciò a causa della Geometria pseudo-euclidea di tale spaziotempo.
Cioè, dati due osservatori inerziali $O(ct,x)$ ed $O'(ct',x')$ in moto relativo con $\vecv = "cost"$, si ha che l'intervallo ha lo stesso valore per entrambi gli osservatori. L'intervallo va calcolato con segni opposti per il termine temporale e per i termini spaziali :

$\Deltas^2 = -(c\Deltat)^2 + (\Deltax)^2 = -(c\Deltat')^2 + (\Deltax')^2 $ -------(1)

La dimostrazione di questo risultato si può trovare in qualunque testo di RR , e anche in buone dispense in rete. Si può dimostrare anche senza passare attraverso le trasformazioni di Lorentz, ma utilizzando il cosiddetto "K calculus" di Bondi : segnali e.m. scambiati tra osservatori in moto, e basta.
La presenza di questi segni opposti fa sí che le rotazioni degli assi coordinati nel piano $(ct,x)$ per passare agli assi $(ct',x')$ non sia una rotazione nello stesso senso di entrambi gli assi, ma una "rotazione iperbolica": i due assi si chiudono o aprono "a forbice" , perchè la linea luce deve sempre rimanere bisettrice dei due assi, temporal e spaziale. Ma su questo non insisto.

Premesso ciò, consideriamo una astronave $AB$ che abbia lunghezza di riposo, o propria, uguale a $L$. L'astronave è in moto con velocita $\vecv = "cost"$ rispetto ad una stazione spaziale $S$ di rilevamento, e le passa davanti a breve distanza. Indichiamo con $(ct,x) $ il sistema di coordinate dell'astronave, e con $(ct',x') $ il sistema di coordinate di $S$.
Nella nave, c'e un orologio in $A$ (testa) e un orologio in $B$ (coda) che sono sincronizzati. Quando la testa della nave passa al traverso di $S$, un raggio laser partito da A arriva alla stazione e fa partire un orologio posto in S. La distanza tra astronave e stazione è piccolissima, per cui si può supporre trascurabile il tempo impiegato dal raggio laser a coprirla con velocita $c$.
Analogamente, quando davanti alla stazione passa la coda $B$ della nave un altro raggio laser sparato da B arresta l'orologio di $S$.
Abbiamo quindi due “eventi” nello spaziotempo, che sono :

-evento $A$ : la testa della nave passa al traverso di $S$.
-evento $B$ : la coda della nave passa al traverso di $S$.

Per la nave, questi due eventi sono separati sia nel tempo-nave : $t_B – t_A = \Delta t $ che nello spazio : $\Delta x = L$ .
Per la stazione, questi due eventi sono separati solo nel tempo-stazione, in quanto la posizione spaziale occupata da $S$ nel proprio riferimento ovviamente non cambia. Cioe : $\Delta t' = t'_B – t'_A$ .
Nella figura qui allegata :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


gli assi $(ct,x)$ del riquadro a sinistra sono il riferimento spaziotemporale di quiete dell'astronave. La striscia verticale in grigio è la “striscia di universo” della nave, di larghezza $L$. “Nose” e “tail” indicano rispettivamente le line di universo della testa e della coda dell'astronave. In tale diagramma, la stazione $S$ attraversa la striscia da $A$ a $B$ , con la sua “linea di universo” la cui inclinazione rispetto alla verticale è uguale a $arctgv$ .
La figura a destra rappresenta invece il riferimento spaziotemporale di quiete della stazione $S$. La sua linea di universo è ora verticale, ed è attraversata dalla striscia di universo inclinata che rappresenta l'astronave.
I due diagrammi rappresentano la stessa situazione, ma vista dalla nave (a sin) e dalla stazione (a ds).

Una cosa deve essere chiara fin da subito : nello spaziotempo, esiste la striscia di universo dell'astronave, ed esiste la linea di universo della stazione. LA realtà fisica a 4 dimensioni è questa (in questo caso abbiamo eliminato le due dimensioni spaziali $y$ e $z$ dall'inizio, ma solo per semplicità di scrittura).

È soltanto il nostro modo sbagliato di separare il “tempo” dallo “spazio”, perché così siamo abituati a fare, a portarci a delle conclusioni che sembrano strane, nel nostro mondo che pensiamo essere geometricamente euclideo tridimensionale, con "in più" l'aggiunta del tempo. Ma invece bisogna fare i conti con un universo che, aggiungendo il tempo, non rimane più euclideo a 4 dimensioni!

Ecco, allora torniamo ai soli tempi, per vedere a che conclusione ci porta questo modo di valutare la Fisica.
A causa dell'invarianza dell'intervallo $(\Deltas)^2$ nei due riferimenti, possiamo scrivere :

$(\Deltas)^2 = -(c\Deltat)^2 + L^2 = -(c\Deltat')^2$ ------(1)

dove si è tenuto conto che i due orologi nell'astronave distano : $\Deltax = L $ , la lunghezza propria della stessa.
Invece i due eventi si verificano per la stazione nello stesso punto, sono quindi "separati" solo dal tempo proprio dell'orologio-stazione $\Delta t' $ .

Ora è solo algebra :

$(c\Deltat)^2[1- L^2 /(c\Deltat)^2] = (c\Deltat')^2$

$ (\Deltat)^2 [1-v^2/c^2] = (\Deltat')^2$ -------(2)

si è tenuto conto del fatto che $L^2 /(\Deltat)^2 = v^2$ , la velocità con cui la stazione passa dalla testa alla coda rispetto ad un osservatore dentro all'astronave.

Quindi :

$ \Deltat*sqrt (1-v^2/c^2) = \Deltat'$-------(3)

ovvero, ponendo al solito : $\gamma = 1/sqrt (1-v^2/c^2) $ :

$ \Deltat = \gamma*\Deltat'$ ------(4)

E la (4) ci dice quello che volevamo sapere: l'orologio della stazione, che è in moto rispetto all'astronave da $A$ verso $B$ (vedere il primo dis. a sinistra sopra), batte il "tempo proprio" più lentamente di quello "coordinato" misurato dall'astronave. E questo si vede solo paragonando il tempo proprio col tempo coordinato: entrambi gli orologi funzionano perfettamente, nel proprio riferimento.
Si verifica questo fatto, perché rispetto all'astronave i due eventi sono separati non solo nel "tempo coordinato" $\Deltat$, ma anche nello spazio $ \Deltax = L$ (dis. a sinistra). Invece nella stazione sono separati solo nel tempo proprio (dis. a destra).

Di solito il tempo proprio (quello misurato dalla stazione $\Deltat'$ ) si indica con :$\Delta\tau$. Quindi :

$\Deltat = \gamma\Delta\tau$ ------(5)

Vediamo ora che cosa succede per le misure di lunghezza.

Nel riferimento dell'astronave, la stazione si sposta di $L$ nel tempo : $\Deltat = \gamma\Delta\tau$ , con velocità $v$ . Percio :

$v = L/(\Deltat) = L/(\gamma\Delta\tau)$--------(6)

Ma nel riferimento della stazione, l'astronave per spostarsi tutta dalla testa $A$ alla coda $B$ davanti a $S$ impiega solo il tempo proprio $ \Delta\tau$ , giusto ? E la velocità è sempre $v$.
Perciò l'osservatore nella stazione misura una lunghezza dell'astronave pari a :

$L' = v* \Delta\tau = L/\gamma$------(7)

dove si è tenuto conto della (6) .

Perciò, la lunghezza dell'astronave misurata dalla stazione è $L' < L$.

E questa è la famosa "contrazione delle lunghezze" . L'astronave non subisce alcuna spaventosa compressione nel riferimento della stazione. Una riga metallica di $1m$ dentro l'astronave, non si "accorcia", rimane sempre di $1m$ in questo riferimento. Gli astronauti non si sentono schiacciati da forze spaventose.
È la misura eseguita dalla stazione, che è più piccola.

Come si vede, non ho parlato di trasformazioni di Lorentz e non ho detto una frase che spesso suona un po' oscura : la lunghezza del regolo in moto (astronave, in questo caso) si misura rilevando "contemporaneamente" i suoi estremi nel riferimento in cui si vuole effettuare la misura stessa. Questa frase si presta ad ambiguità. Come si fa ad essere presenti contemporaneamente ai due estremi di un regolo che si muove a velocità relativistica?
Invece, si vede che la "contrazione delle lunghezze" è un fatto strettamente collegato alla "dilatazione del tempo" . Questi due risultati vanno a braccetto in RR.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Ultima modifica di navigatore il 15/12/2013, 23:22, modificato 1 volta in totale.
navigatore
 

Re: RR for dummies: dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze

Messaggioda grimx » 15/12/2013, 23:19

Bravissimo Navigatore!!!!! :) :smt023
Così risolverai molti dubbi di tanti studenti..! (peccato mi stavo divertendo a leggere domande assurde sulla RR :lol: )
Apparte gli scherzi, dovrebbero "bloccare" questo post in alto così tutti possono leggerlo e chiarirsi le idee :wink:

Ciao ciao, bel lavoro ancora!
grimx
Junior Member
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Messaggio: 57 di 385
Iscritto il: 14/09/2013, 21:51

Re: RR for dummies: dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze

Messaggioda navigatore » 15/12/2013, 23:27

Grazie grimx!
Ma non merito tanto! Anche in rete ci sono ottimi corsi di RR, profondi, dettagliati e chiari! E scritti da veri esperti della materia, professori universitari.
Io sono solo un dilettante.
Ciao!!!
navigatore
 

Re: RR for dummies: dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze

Messaggioda grimx » 16/12/2013, 19:51

Ma non merito tanto!

Invece si! Hai perso tanto tempo libero, per spiegare a molti utenti queste cose!
Io sono solo un dilettante.

:stica:

I complimenti te li meriti tutti, comunque può un moderatore cortesemente bloccare il post, che almeno non viene perso nel dimenticatoio?

Ciao!
grimx
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 58 di 385
Iscritto il: 14/09/2013, 21:51

Re: RR for dummies: dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze

Messaggioda navigatore » 16/12/2013, 23:40

Metto giù qualche altra idea, senza matematica stavolta, ma solo considerazioni personali sul significato di quello che si è detto.

Uno potrebbe dire, e spesso è stato obiettato : "Ma insomma, in conclusione, la contrazione delle lunghezze, è reale oppure no? Ci hai appena detto che si tratta solo di una questione di misure! Allora non si contrae nulla? E perché i relativisti dicono invece che un regolo in moto rispetto ad un osservatore "si contrae realmente" rispetto a questi? Che significato dobbiamo dare alla "realtà" , in queste circostanze? "

Rispondo cosí.
Innanzitutto, l'astronave (del mio esempio) è un riferimento inerziale, no? Quindi, qualunque sia la sua velocità rispetto ad un altro riferimento inerziale, nessun fenomeno fisico che avviene in esso può essere influenzato dalla sua velocità, qualunque essa sia, anche paragonabile a $c$. Perciò è fin troppo evidente che nel riferimento in cui l'astronave è in quiete non succede proprio niente.

Ma supponiamo ora che davanti all'astronave passino non una sola, ma più stazioni di rilevamento $S_1, S_2,S_3…..$, tutte con velocità diverse $v_1,v_2,v_3….$ relativamente alla nave.
Quindi i fattori $\gamma$ sono tutti diversi, e tutte diverse tra loro sono le lunghezze "misurate" $L_1,L_2,L_3….$
Perciò, quale lunghezza contratta deve assumere "realmente" questa povera astronave?

Be', sorpresa : le assume proprio tutte, una per ciascun osservatore $S_1, S_2, S_3….$ . E tuttavia non si contrae affatto nel proprio riferimento.

Allora la realtà della contrazione è….fantasia? No. In RR, "vedere" è diverso da "misurare" .

Dice uno dei miei autori preferiti, Sexl, nel suo libro che ho già citato tante volte:"Spaziotempo" :

La contrazione di Lorentz non è visibile. Essa non è reale nel senso che induce una deformazione dei corpi. Questo tuttavia non significa che con la spiegazione relativistica della contrazione di Lorentz questa sia soltanto presente in apparenza e si sottragga a una osservazione sperimentale. I due esempi seguenti hanno lo scopo di chiarire questo punto :
1) La contrazione di Lorentz del campo coulombiano
(…..omissis…..)
2) La radiazione cosmica
(….omissis……)


Perciò, dovremmo forse concludere che la parola "realtà" non sottintende nulla di scientificamente provato….?
A voi la discussione, se volete.

Io però mi permetto di fare qualche considerazione.

Non ci facciamo mai caso, ma anche in Meccanica Classica il nostro occhio ci inganna….: quello che vediamo a volte non è la realtà.
Supponiamo di essere sulla banchina di una stazione ferroviaria, e di guardare un treno che sta arrivando a tutta birra. Sappiamo che il treno è stato misurato alla costruzione e misura, da fermo, 200 m (per ipotesi).
Ma sulla nostra retina arrivano in contemporanea i fotoni provenienti dalla testa e quelli provenienti dalla coda del treno. Questi ultimi, hanno percorso più strada, perciò sono partiti prima poiché arrivano insieme a quelli della testa. In altri termini, mentre ci colpiscono i fotoni partiti dalla coda insieme a quelli partiti dalla testa, la coda "vera" del treno si è spostata in avanti. La luce proveniente dalla coda è più "vecchia" di quella proveniente dalla testa :

-l'immagine del treno che si è formata sulla nostra retina è "più lunga" della lunghezza vera del treno da fermo.

E questo, che "realtà" è ?
navigatore
 


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