Esercizio fisica rotolamento disco

[Raidern]

Salve a tutti, ho bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio:

Una ruota, assimilabile ad un disco omogeneo, di massa M e raggio R, al bordo del quale è rigidamente unito un punto materiale P, di massa m=M/2, è vincolata a muoversi di moto di puro rotolamento su binario orizzontale fisso, giacendo sempre in un piano verticale. La ruota, inizialmente in quiete, è abbandonata nella configurazione in cui P si trova alla stessa quota del centro O della ruota. Calcolare:
1) velocità angolare quando P tocca il binario
2) velocità angolare quando P si trova ad altezza R/2 rispetto al binario
3) forza che il binario esercita sul disco all'istante iniziale del moto e quando P tocca il binario.

Per il punto 1 avevo pensato di scrivere: m*g = I*alfa (per il momento d'inerzia devo sommare quello del disco e quello del punto materiale giusto?), dopo avrei determinato il tempo che impiega il punto P a toccare il binario tramite
teta(t) = tetao+Wo*t+(alfa*t^2)/2
ponendo tetao=0 teta=90° Wo=0 posso trovare t. A quel punto faccio W= alfa*t

Per il punto 2 volevo applicare lo stesso ragionamento, ovviamente in questo caso l'accelerazione sarà negativa.
Per il punto 3 onestamente non so dove mettere le mani... Grazie!

[Faussone]

Per il primo punto occorre imporre che la variazione di energia potenziale del sistema eguagli la variazione di energia cinetica.
Per il momento di inerzia certo basta sommare i due contributi, ma occorre scrivere bene l'energia cinetica del sistema.

Il secondo punto è analogo, sempre conervazione energia meccanica.

Per il terzo punto una via è scrivere l'equazione dei momenti per calcolare l'accelerazione angolare iniziale del disco e poi da qui calcolare la forza di attrito statico necessaria tra il binario e la ruota, tenendo sempre conto che si tratta di rotolamento.
Quando il punto P tocca il binario basta osservare che l'accelerazione angolare della ruota è nulla....

[Raidern]

Per il primo punto occorre imporre che la variazione di energia potenziale del sistema eguagli la variazione di energia cinetica.
Per il momento di inerzia certo basta sommare i due contributi, ma occorre scrivere bene l'energia cinetica del sistema.

Il secondo punto è analogo, sempre conervazione energia meccanica.

Per il terzo punto una via è scrivere l'equazione dei momenti per calcolare l'accelerazione angolare iniziale del disco e poi da qui calcolare la forza di attrito statico necessaria tra il binario e la ruota, tenendo sempre conto che si tratta di rotolamento.
Quando il punto P tocca il binario basta osservare che l'accelerazione angolare della ruota è nulla....

Nel primo punto, scrivendo la conservazione dell'energia ottengo:
m*g*R= 1/2*(m*Vcm^2+I*w^2) come trovo la velocità del centro di massa?

[Faussone]

Dalla condizione di rotolamento senza strisciamento.

[Raidern]

i risultati dei primi 2 punti mi vengono w1= sqrt[2*g/(3*r)] e w2= sqrt[g/r]

Per l'ultimo punto faccio
m*g=I*alfa
a=alfa*r
F= a*M
a*M= f = M*r*m*g/(M*r^2) = m*g/r (all'inizio del moto)

Quando P tocca il binario invece f=o perchè nessuna forza crea momento quindi a=0 quindi f=0

E' corretto? Grazie della disponibilità!

[Faussone]

Il primo punto mi pare corretto, il secondo a me risulta $omega=1/2sqrt(g/R)$.
Per l'ultimo punto, quando il punto si trova nella posizione iniziale, io scriverei, prendendo come polo dei momenti il punto di contatto col terreno,
$I alpha = M/2*g * R$
con $I$ momento di inerzia totale rispetto al punto di contatto per cui $I=MR^2/2+MR^2+M/2 (R*sqrt(2))^2$.

Poi scrivendo l'equazione di Newton per la traslazione orizzontale, tenendo conto del puro rotolamento, si avrebbe:
$(M+M/2) alpha *R = F$.
Con $F$ forza di attrito statico orizzontale che si esercita tra binario e ruota.

Nel momento in cui il punto tocca il binario essendo l'accelerazione del sistema nulla il binario non esercita alcuna forza orizzontale sulla ruota (solo una forza verticale pari al peso totale).

[Raidern]

Il primo punto mi pare corretto, il secondo a me risulta $omega=1/2sqrt(g/R)$.
Per l'ultimo punto, quando il punto si trova nella posizione iniziale, io scriverei, prendendo come polo dei momenti il punto di contatto col terreno,
$I alpha = M/2*g * R$
con $I$ momento di inerzia totale rispetto al punto di contatto per cui $I=MR^2/2+MR^2+M/2 (R*sqrt(2))^2$.

Poi scrivendo l'equazione di Newton per la traslazione orizzontale, tenendo conto del puro rotolamento, si avrebbe:
$(M+M/2) alpha *R = F$.
Con $F$ forza di attrito statico orizzontale che si esercita tra binario e ruota.

Nel momento in cui il punto tocca il binario essendo l'accelerazione del sistema nulla il binario non esercita alcuna forza orizzontale sulla ruota (solo una forza verticale pari al peso totale).

Ho rifatto i conti e il secondo mi viene $omega=sqrt(g/(3R))$
Ma nella conservazione dell'energia, la velocità del centro di massa va moltiplicata per M o per m?
E perchè nell'ultimo punto hai preso come polo il punto di contatto?
Quindi quando devo verificare la condizione di puro rotolamento, il polo per il calcolo dei momenti deve essere il punto di contatto?
Grazie ancora

[Faussone]

Per il secondo punto, la conservazione dell'energia meccanica dà:

$M/2 g R/2= 1/2(1/2 M R^2 + M R^2 + M/2 R^2) omega^2$

che per $omega$ dà $1/2 sqrt(g/R)$.
Quella equazione l'ho scritta immaginando una rotazione pura attorno all'asse di contatto con la rotaia, perché semplifica le cose (il moto di rotolamento puro istantaneamente equivale ad una rotazione pura attorno all'asse costituito dal contatto tra ruota e binario).
In ogni caso se si vuole ragionare diversamente va tenuto conto che il centro di massa ha massa $m+M$ e che la su posizione non è sull'asse della ruota.

Come polo si può scegliere quello che si vuole, l'importante è riportare le equazioni corrette, scegliere il punto di contatto (o meglio l'asse di contatto) semplifica le cose in questo caso.

[Raidern]

Per il secondo punto, la conservazione dell'energia meccanica dà:

$M/2 g R/2= 1/2(1/2 M R^2 + M R^2 + M/2 R^2) omega^2$

che per $omega$ dà $1/2 sqrt(g/R)$.

Non capisco questa equazione:
per me la conservazione dell'energia nel secondo punto è $M/2*g*R = M/2*g*R/2+1/2*(M/2 w^2R^2+R^2*M*w^2)$

Non capisco perchè tu hai 3 membri con w^2 (due sono per l'energia cinetica nel punto finale e il terzo?); e non capisco perchè hai un solo membro con g quando dovrebbero essere due (ammesso che tu come punto iniziale abbia scelto quello con P alla stessa quota del centro del disco)

[Faussone]

Mi sembra che ci siamo quasi.
Per quanto riguarda l'energia potenziale io ho scritto direttamente la differenza di energia potenziale, se porti a sinistra il termine di energia potenziale che hai scritto tu ottieni, a sinistra, quello che ho scritto io.
Per quanto riguarda l'energia cinetica, hai solo dimenticato di aggiungere il contributo della massa $m=M/2$ ancorata sul bordo del disco...