Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Raidern » 22/03/2014, 13:20

Faussone ha scritto:Mi sembra che ci siamo quasi.
Per quanto riguarda l'energia potenziale io ho scritto direttamente la differenza di energia potenziale, se porti a sinistra il termine di energia potenziale che hai scritto tu ottieni, a sinistra, quello che ho scritto io.
Per quanto riguarda l'energia cinetica, hai solo dimenticato di aggiungere il contributo della massa $m=M/2$ ancorata sul bordo del disco...


Chiaro, ora però mi è venuto un altro dubbio, nel calcolo del primo punto il risultato veniva $w=sqrt(2/3 g/r)$
senza che avessi aggiunto il contributo della massa m.
La formula per il primo punto è: $m*g*r=1/2*(I*w^2+m*Vcm^2+m*v^2)$
e mi viene $w=sqrt(g/(2r))$

Mentre il 2 punto con la formula identica tranne che a primo membro compare un 1/2 (per la differenza delle energie potenziali) mi viene $w=sqrt( g/(4r))$

Dove sbaglio?
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Faussone » 22/03/2014, 14:03

Nel primo punto la massa $m$ si trova a contatto col binario quindi è ferma andando a considerare la rotazione della ruota attorno all'asse di contatto, per cui non dà nessun contributo all'energia cinetica.
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Raidern » 22/03/2014, 15:59

Grazie mille per l'aiuto!
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Mynameis » 01/08/2017, 11:39

Riprendo questo post perché anche io mi trovo un attimo impantanato con questo esercizio . Il primo ed il secondo punto vengono risolti con la conservazione dell'energia , e fin qui ci siamo . Volevo chiedere un parere riguardo la risoluzione del terzo punto . Un mio collega che ha svolto l'esercizio , come era stato proposto nei messaggi precedenti scrive $ x_(cm)(m+m)g=I_Calpha $ dove C è il punto di contatto . Trova l'inerzia rispetto a C come $ I_C=I_(cm)+(M+m)d^2 $ dove $ d=sqrt(R^2+x_(cm)^2 $ . Per vedere a cosa faccio riferimento si guardi la foto in basso . Successivamente scrive la prima cardinale lungo y : $ N-(M+m)g=(M+m)a_(CMy) $ . A questo punto credo lui faccia la seguente precisazione : dato che il cdm si muove accelerando, ha una accelerazione lungo y che è somma della tangenziale e della normale ( da tenere presente che anche il cdm percorre un moto circolare attorno al punto C per definizione di moto di rotolamento ) . Infatti successivamente riscrive la prima cardinale come $ N-(M+m)g=(M+m)(alphadcostheta+omega^2dsentheta) $ . L'angolo , facendo riferimento alla figura viene trovato come $ theta=arcocos (x_(cm)/d) $ . Fatto ciò si trova $ N $ . Per quanto riguarda invece la reazione nel momento in cui P tocca il binario effettivamente uno può essere portato a pensare che questa sia uguale ed opposta alla forza peso ma in realtà non credo sia così perché non appena il punto P tocca il binario c'è un moto lungo y poiché il centro di massa ( la cui accelerazione compare a secondo membro della prima cardinale ) HA una accelerazione normale ( diretta lungo y ) uguale a $ omega^2 (R-x_(cm)) $ . Da qui si capisce che la reazione quando P tocca il binario non è esattamente uguale al peso del sistema . Cosa ne pensate ??

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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Vulplasir » 01/08/2017, 14:24

Il punto riguardante il momento in cui P tocca terra, non è di facile risoluzione, infatti, c'è un problema non da poco, ossia il fatto che il momento di inerzia del sistema varia nel tempo rispetto al punto di contatto C, quindi la seconda cardinale non è semplicemente $M=Ialpha$, ma $M=(dI)/(dt)omega+Ialpha$, quindi c'è il problema di determinare quanto valga $(dI)/(dt)$, esso dipende dall'angolo,e il problema diventa una equazione differenziale non risolubile a mano (non lineare tra l'altro), e non è vero che M=0 implica $alpha=0$, come fa notare quell'equazione stessa. Ne abbiamo già discusso in un altro post di una questione molto simile, e ovviamente si è giunti a dire proprio che non è risolubile.
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Mynameis » 01/08/2017, 14:47

D'accordo , grazie dell'aiuto !
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Faussone » 01/08/2017, 16:22

Vulplasir ha scritto: Ne abbiamo già discusso in un altro post di una questione molto simile, e ovviamente si è giunti a dire proprio che non è risolubile.


Esatto. La discussione era questa qui.
Qui io nel punto 3 stavo commettendo lo stesso errore di quella discussione: se prendiamo come polo il punto di contatto col piano e scriviamo la seconda equazione cardinale allora il momento di inerzia del sistema dipende dalla rotazione del disco e questo complica le cose.

Devo dire, a mia solo parziale e non giustificabile discolpa :( , che il livello delle prime due domande è di fisica 1 e questo mi ha portato anche qui a pensare che anche il punto 3 fosse di pari difficoltà, esattamente come quell'altro esercizio.
Non sarei neanche sicurissimo che l'autore del problema si sia reso conto di questa difficoltà.

Comunque si può osservare che il momento di inerzia del sistema rispetto al centro del disco è costante, quindi si può pensare di scrivere la seconda equazione cardinale rispetto al centro del disco. A quel punto rimane in generale incognita la forza di attrito statico tra piano e disco. Si deve aggiungere allora l'equazione di Newton per la traslazione orizzontale, ma la posizione del centro di massa dipende anche dalla rotazione del disco, di nuovo.
Forse questa strada porta a qualcosa, ma non sono sicuro.... Dovrei fare i calcoli e non so se troverò la voglia e il tempo...
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Vulplasir » 01/08/2017, 20:01

Allora, no mi sono sbagliato, facendo i conti il problema risulta risolubile. Facendo i conti con $M=(dI)/(dt)omega+Iddottheta$ si arriva ad avere un'espressione dell'accelerazione angolare come $ddottheta=f(dottheta^2, theta)$, la dipendenza di $ddottheta$ da $dottheta^2$ si può eliminare sfruttando la conservazione dell'energia, arrivando quindi a una espressione $ddottheta=f(theta)$, dato che si vuole conoscere l'accelerazione angolare quando il punto materiale attaccato al disco tocca terra, allora basta sostituire il relativo angolo $theta$ nell'espressione di $ddottheta$, dovrebbe risultare $ddottheta=0$ come aveva detto Faussone, ma il motivo non è dovuto solo al fatto che $M=0$ in quel punto, ma anche al fatto che $(dI)/(dt)=0$ in quel punto, infatti, anche senza fare i conti si ha $(dI)/(dt)=(dI)/(d theta)(d theta)/(dt)$, ma si vede chiaramente che con l'avvicinarsi del punto materiale al terreno, il momento di inerzia diminuisce, ha un minimo nel punto di contatto e poi aumenta di nuovo, quindi $I(theta)$ ha un minimo quando il punto materiale è a contatto col terreno, da cui $(dI)/(d theta)=0$ in quel punto.
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Faussone » 02/08/2017, 15:54

In effetti seguendo anche il metodo che avevo detto nel mio precedente messaggio ottengo che la forza di attrito statico tra disco e piano è nulla quando la massa attaccata sul bordo del disco è in prossimità del punto di contatto.

Equazione del momento angolare (seconda equazione cardinale, scegliendo come polo il centro del disco) e considerando il momento in cui la massa $m$ tocca il piano (il centro di massa ha velocità parallela a questo polo in quel momento):

$I alpha= mg R cos theta - F R$

Quando la massa $m$ tocca il piano si ha $theta=pi/2$ e quindi

$I alpha=-FR$




Seconda equazione cardinale (equazione di Newton per il centro di massa) per le componenti orizzontali e quando la massa $m$ tocca il pavimento:

$(M+m) 2/3 R alpha =F$

(Il centro di massa si trova a $2/3 R$ dal punto di contatto tra disco e piano visto che la massa $m$ è la metà di quella del disco).


Per cui sostituendo nella equazione cardinale si ha:

$M R^2 alpha = - 3/2 M alpha 2/3 R^2$

cioè
$2 M R^2 alpha =0$

che è verificato solo se $alpha=0$.
Quindi l'accelerazione angolare è nulla quando la massa $m$ tocca il piano.
Da cui deriva che anche la forza di attrito statico col piano è nulla.
Ultima modifica di Faussone il 02/08/2017, 16:14, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizio fisica rotolamento disco

Messaggioda Vulplasir » 02/08/2017, 16:02

Equazione del momento angolare (seconda equazione cardinale, scegliendo come polo il centro del disco):

Aspetta però, se la fai rispetto al centro del disco, devi aggiungere il termine correttivo nella seconda cardinale che coinvolge la velocità del polo scelto, che in questo caso non è fermo (e non è il centro di massa)
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