Impulso che passa per il Centro di massa

Messaggioda astruso83 » 29/03/2014, 15:58

Caro forum,
il centro di massa e' un punto teorico venerato ed utilissimo. Nonostante cio', sto cercando di non vederlo come l'unico modo per descrivere le cose. Penso che a volte, vista la semplicita' ed il potere del cdm, di interpretare il cdm come qualcosa di fisico mentre si tratta di un concetto come tutti gli altri. Non per rendere le cose piu' difficile ma per capirle piu' a fondo.....

Supponiamo di avere un oggetto posto su di una superficie piana, a riposo. Se una forza esterna e' applicata all'oggetto e la linea di azione della forza passa per il centro di massa, l'oggetto verra' accelerato e traslera' senza ruotare rispetto al sistema fisso. Se invece la linea d'azione della forza F non passa per il cdm, l'oggetto traslera' e ruotera' allo stesso tempo.
Nel mio post sull' "arbitrarieta' del concetto di rotazione" si discute il concetto di rotazione e si parla di come la rotazione di un corpo non debba avvenire per forza e sempre attorno al centro di massa (come spesso si crede) anche quando il corpo non e' vincolato.

Per la situazione descritta sopra, c'e' una dimostrazione matematica che spiega il discorso sul comportamento del corpo relativamente alla linea d'azione della forza, al di la' del dire che c'e' un momento meccanico non nullo che fa ruotare l'oggetto se la linea d'azione non passa per il cdm?

grazie,
astruso83
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Re: Impulso che passa per il Centro di massa

Messaggioda navigatore » 29/03/2014, 17:39

Be', il venerato baricentro di un corpo solido, (.."rigido" è meglio detto, in Meccanica classica…) è veramente un punto speciale.
Ora non ho tempo, ma stasera ti metto pure la dimostrazione matematica che cerchi, relativa ad un impulso che NON passa per il baricentro, e vediamo quello che succede.

Per ora, posso dirti che valgono le due equazioni cardinali della Dinamica, di cui la prima dice che il corpo rigido si muove come se tutta la massa fosse concentrata in $G$. Quindi se la risultante delle forze esterne (e reazioni vincolari) è nulla il corpo rigido è in quiete o m.r.u. in un dato riferimento inerziale; lo puoi sostituire con tutta la massa concentrata in $G$.
E la seconda equazione cardinale dice che solo se calcoli il momento delle forze esterne rispetto a un polo coincidente con $G$, o con un punto fisso o in moto con velocità parallela alla velocità di $G$ , hai l'espressione più semplice. Altrimenti, se il polo è $O$ diverso da $G$ ed è in moto, non parallelamente a $G$, devi aggiungere un altro termine, che è dato dal momento, rispetto a $O$, del vettore $\vecQ$ applicato in $G$…

E posso aggiungere che il momento di inerzia del corpo per un asse passante per $G$ è il "minimo" tra tutti i momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli a quello detto. E che l'energia cinetica pure è minima, rispetto agli stessi assi considerati…

Sai, la Natura tende al risparmio. Vuole risparmiare sui momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli, e vuole risparmiare sull'energia cinetica…

Ma stasera ti metto la dimostrazione matematica che chiedi, se posso.
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Re: Impulso che passa per il Centro di massa

Messaggioda navigatore » 29/03/2014, 23:17

Dunque vediamo che cosa riesco a scrivere.

Consideriamo un piano orizzontale liscio, con un riferimento $Oxy$ , su cui si trova poggiata una barretta cilindrica di massa $M$ , lunga $L$ , parallela all'asse $y$. Il baricentro $G$ è a metà lunghezza, e il momento di inerzia baricentrico della barretta rispetto a un asse perpendicolare al piano ha valore $I_G$ (non importa l'espressione).
Una massa puntiforme $m$ messa sul piano e dotata di velocità iniziale $\vecV_0$ parallela all'asse $x$, quindi perpendicolare alla barretta, la urta in un punto $P$ diverso da $G$, a distanza $d = (y_P - y_G) >0 $ . Supponiamo anche che l'urto avvenga con un coefficiente di restituzione $ e < 1 $ , per generalizzare.

Il sistema è isolato, le forze peso sono equilibrate dal piano liscio.

Quindi si devono conservare sia la quantità di moto che il momento della quantità di moto rispetto a un polo.

La conservazione della quantità di moto si scrive (proiettando sull'asse $x$ ) :

$mV_0 = mV' + MV'_G$ -------(1)

dove $V'$ è la velocità della massa $m$ subito dopo l'urto, che dipende dal coefficiente di restituzione (come vedremo), e $V'_G$ è la velocità di $G$ subito dopo l'urto.

Scriviamo ora la conservazione del momento della quantità di moto, prendendo come polo proprio il punto $P$ dell'urto. LA massa $m$ ha quindi momento della q.m. sempre nullo rispetto a $P$ sia prima che immediatamente dopo l'urto.
Invece il m.q.m. della barretta vale zero prima dell'urto, essendo ferma.
Subito dopo l'urto, c'è una velocità angolare $\omega'$ (da calcolare), che come sappiamo non dipende dal polo, e il momento angolare rispetto a $P$ vale :

$M*V'_G*d - I_G\omega'$ -------(2)

Il primo termine è dovuto al fatto che il polo $P$ non è fisso né coincidente col baricentro $G$, quindi bisogna tener conto del momento, rispetto a $P$, della q.d.m. $MV'_G$ applicato in $G$, che vale appunto $M*V'_G*d$, ed è antiorario. Questo si dimostra non appena si definisce il momento angolare. E lo hai riportato anche tu in un tuo messaggio.
Il secondo termine (con Il segno "$-$" dovuto al fatto che la rotazione è oraria, visto che $P$ ha ordinata maggiore di $G$) non è altro che il momento angolare della barretta rispetto a $G$ dopo l'urto.

PErcio in definitiva la conservazione del momento angolare si scrive :

$0 = M*V'_G*d - I_G*\omega'$ -------(3)

dalle (3) si ottiene la velocità angolare dopo l'urto :

$\omega' = (M*V'_G*d)/I_G$ ------(4)

Come si vede dalla (4), se fosse $d=0$ la velocità angolare dopo l'urto sarebbe nulla.

Ecco, per quanto riguarda il tuo quesito, ti puoi fermare qui.

Quello che segue, che riporto per completezza, è relativo al calcolo delle velocità dopo l'urto tenendo conto del tipo di urto e quindi del coefficiente di restituzione. E quindi trovo un valore più corretto della velocità angolare dopo l'urto.

Il punto $P$ in cui ha luogo l'urto ha velocità iniziale nulla, mentre dopo l'urto essa vale :

$V'_P = V'_G + \omega'*d$ --------(5)

Essendo noto il coefficiente di restituzione $e$ , si ha :

$e = - (V' -V'_P)/V_0 = - (V' - V'_G - \omega'*d)/V_0 $ ------(6)

da cui si ha : $eV_0 = V'_G(1 + (Md^2)/I_G) - V' $ ------(7)

Da questa, e dalla conservazione della q.d.m. , si ricava in definitiva :

$V' = - V_0 (e - m/M(1 +(Md^2)/I_G))/(1 + m/M(1 +(Md^2)/I_G)) $ ---------(8)

$V'_G = m/MV_0* (1+e)/(1 + m/M(1 +(Md^2)/I_G)) $ ---------(9)

$ \omega' = (md)/I_G*V_0*(1+e)/(1 + m/M(1 +(Md^2)/I_G)) $ ---------(10)

Da qui si vede ancora che se fosse $d = 0$ (urto centrale) si avrebbe : $\omega' = 0$. Si vede anche che se la massa $m$ fosse molto più piccola di $M$, si avrebbe all'incirca : $V'G=0$ ; $ \omega' = 0$ ; $V' = -eV_0$ .

Per dovere di correttezza, perché non mi piace barare, chiarisco che ho preso questo esercizio dal testo di Meccanica delle Macchine di Jacazio- Pastorelli.
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Re: Impulso che passa per il Centro di massa

Messaggioda astruso83 » 30/03/2014, 21:56

grazie navigatore!

sei chiaro come al solito.

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Re: Impulso che passa per il Centro di massa

Messaggioda astruso83 » 30/03/2014, 22:08

navigatore,

potresti ricordarmi il titolo del post dove spieghi che la velocita' angolare non dipende dal polo?
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Re: Impulso che passa per il Centro di massa

Messaggioda navigatore » 30/03/2014, 22:36

Te lo ha ricordato Faussone in una delle sue prime risposte, mi sembra. Lo abbiamo detto tante di quelle volte.

Comunque, tempo fa in una discussione lunghissima sul moto circolare uniforme misi anche due pagine scannerizzate dal testo di Meccanica di Landau-Lifsitz, qui :

viewtopic.php?f=19&t=92854&start=30#p620286

dove è dimostrato chiaramente l'asserto. Se poi hai voglia, puoi leggere tutta le discussione, lunga ben sei pagine….
navigatore
 

Re: Impulso che passa per il Centro di massa

Messaggioda astruso83 » 31/03/2014, 02:56

Grazie ancora. Mi leggo il post con piacere
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