Problema circuiti fisica 2

Messaggioda marco_1004 » 06/02/2017, 18:45

salve a tutti, vi scrivo perchè ho problemi con un esercizio di fisica 2. Vi allego testo, grafico del circuito e soluzione del professore che tuttavia non mi torna. In particolare non mi è chiara una cosa:

quando chiudiamo l’interruttore il condensatore C1 comincia a scaricare e la corrente che esso produce attraversa prima R1 e poi si divide tra R2 e C2 che così si carica, giusto?

Quando C2 si sarà caricato a quel punto le due resistenze saranno attraversate dalla medesima corrente. Infine quando C1 si sarà completamente scaricato a quel punto il condensatore C2 scarica sulle due resistenze l’energia assorbita e quindi è come se non intervenisse

Fin qui mi torna tutto, non riesco però a capire perché diciamo che l’energia dissipata nelle due resistenze è la stessa visto che per il tempo necessario alla carica di C2 le due resistenze sono attraversate da correnti differenti. Possiamo trascurarlo considerando così l’energia dissipata in R1 uguale a quella dissipata in R2?
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda RenzoDF » 06/02/2017, 18:59

Hai ragione, non vedo perché l'energia dissipata dai due resistori dovrebbe essere uguale; ricavando le due correnti nelle stesse durante il transitorio sarebbe semplice determinare le due energie; l'unica cosa certa è che la somma delle stesse sarà pari all'energia iniziale immagazzinata in C1.

Usando la convenzione degli utilizzatori e indicando con v1 e i1 la tensione e la corrente su C1 e con v2 e i2 le corrispondenti su C2, potremo scrivere un sistema di due equazioni differenziali del primo ordina, che risolto porterebbe ad ottenere entrambe le correnti nei due resistori e valutare, via integrazione delle potenze istantanee, le due energie.
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda marco_1004 » 06/02/2017, 19:22

Grazie mille per la risposta, mi hai chiarito un grande dubbio! Nel frattempo ho scritto al professore per dei chiarimenti. Per la risoluzione avevo pensato di calcolare la d.d.p di C2 quando entra a regime, infatti a quel punto sarebbe la corrente I(t) del condensatore C1 calcolata con t= 3Costante Tempo C2 moltiplicata per la resistenza R, però non sono sicuro che si possa fare... tu che dici?
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda RenzoDF » 06/02/2017, 20:22

No, a regime entrambi i condensatori sono scarichi, le tensioni e le correnti nulle; l'unica soluzione è studiare il transitorio.

Supongo tu sappia risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine, e di conseguenza non avresti problemi a dimostrare che le due energie sono diverse; come ti dicevo una volta determinata i1 e i2, avrai che in R1 la corrente è pari a i1, mentre in R2 è pari alla somma di i1 e i2.


con riferimento alle convenzioni di figura il sistema sarà

$C_1\frac{\text{d}v_1 }{\text{d} t}=\frac{-v_1}{R}+\frac{v_2}{R}$

$C_2\frac{\text{d}v_2 }{\text{d} t}=\frac{v_1}{R}-\frac{2v_2}{R}$

Per convenienza di calcolo potresti assumere R=1Ω, C1=5F e C2=3F.
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda marco_1004 » 06/02/2017, 21:43

Non mi è chiara una cosa però, quando noi scriviamo $I=C (dv)/dt$ con $I$ intendiamo la corrente che va dall'armatura positiva a quella negativa attraversando il condensatore?

Comunque tornando al problema sinceramente non ricordo come si risolvono le equazioni di secondo ordine visto che fin'ora tutti gli esercizi incontrati si risolvevano con meri calcoletti. Ora le riguardo e provo a risolverla :smt023
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda RenzoDF » 06/02/2017, 21:49

marco_1004 ha scritto:Non mi è chiara una cosa però, quando noi scriviamo $I=C (dv)/dt$ con $I$ intendiamo la corrente che va dall'armatura positiva a quella negativa attraversando il condensatore?

Certo che si, quella equazione costitutiva del condensatore vale solo se per il bipolo è stata assunta la "convenzione degli utilizzatori".

marco_1004 ha scritto:...Ora le riguardo e provo a risolverla :smt023

Così si fa! :smt023
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda marco_1004 » 06/02/2017, 22:00

mi potresti dare un incipit per la risoluzione perchè non riesco a capire come partire...
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda RenzoDF » 06/02/2017, 22:41

Puoi per esempio ricavare v1 dalla seconda in funzione della v2 e della sua derivata e usarla nella prima; dovresti ottenere

$R^2C_1C_2\frac{\text{d}^2v_2 }{\text{d} t^2}+R(2C_1+C_2)\frac{\text{d}v_2 }{\text{d} t} + v_2=0$

che come dicevo, per "vincere facile" possiamo trasformare in forma numerica andando per "convenienza" ad impostare

R=1Ω, C1=5F e C2=3F, ottenendo

$15v_2''+13v_2'+v_2=0$

con condizioni iniziali $v_2(0)=0 \text{V}$ e di conseguenza $i_2(0)=15 \ \text{A}$ ovvero $v_2'(0)= 5 \text{V/s}$.

Per curiosità ho usato WAlpha per risolvere

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(15y%27%27%2B13y%27%2By%3D0)+for+y%27(0)%3D5+and+y(0)%3D0

dove y(x) è chiaramente la v2(t) ... e ancora usando WAlpha, determino l'energia su R2 andanso ad integrare la potenza istantanea $v_2^2/R_2$, da 0 a 100 secondi, ottenendo

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B(75+e%5E(-1%2F30+(13+%2B+sqrt(109))+x)+(-1+%2B+e%5E((sqrt(109)+x)%2F15)))%2Fsqrt(109)%5D%5E2+from+x%3D0+to+100

$U_2\approx 216.3 \ \text{J}$

mentre l'energia iniziale immagazzinata in C1 è pari a

$U_{C_1}=\frac{1}{2}C_1v_1(0)^2=562.5 \ \text{J}$

di conseguenza, l'energia dissipata in R1 da 0 a 100 secondi

$U_1\approx 562.5- 216.3=346.2 \ \text{J}$

il che dimostra che l'energia inizialmente immagazzinata in C1, non si ripartisce di certo in parti uguali fra R1 e R2 :!:
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda marco_1004 » 06/02/2017, 23:21

RenzoDF ha scritto:con condizioni iniziali $v_2(0)=15 \text{V}$ e di conseguenza $i_2(0)=15 \ \text{A}$ ovvero $v_2'(0)= 5 \text{V/s}$.


tutto chiarissimo tranne come hai ricavato la condizione iniziale $v2(0)=15V$ e $i2(0)=15$
Ultima modifica di marco_1004 il 06/02/2017, 23:34, modificato 1 volta in totale.
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Re: Problema circuiti fisica 2

Messaggioda RenzoDF » 06/02/2017, 23:31

Scusa, errore mio, ovviamente $v_2(0)=0$ (ora correggo), mentre, al tempo t=0, la corrente la ho determinata da $(v_1(0)-v_2(0))/R=(15-0)/1=15 \ \text{A}$.

BTW Non serve quotare l'intero messaggio precedente, puo cancellare per favore il quoting totale? Grazie.
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