Frequenza piccole oscillazioni

[Pasticcio4]

Ciao.
Potete darmi una mano a svolgere il seguente esercizio?

Si consideri il sistema di equazioni differenziali
$ dx/dt=y $
$ dy/dt=-U'(x) $

con $ U=1/6x^6-5/4x^4+2x^2 $

Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni vicino ai punti di equilibrio stabile.

Come punti di equilibrio stabile ho trovato:
x=0, x=1, x=-1

[Palliit]

Ciao. Premetto che la mia è un'ipotesi di risoluzione, ben contento se qualcuno ha di meglio da proporre.

Intanto due considerazioni:
- la struttura "a sistema" del problema mi pare fittizia, combinando le due equazioni (precisamente derivando la prima rispetto al tempo e sostituendovi la seconda) ottieni:

(1) $" "(d^2x)/(dt^2)=-U'(x)$.

- i minimi di $U(x)$ corrispondono a $x=0" "$ e ad $x=+-2" "$; per $x=+-1" "$ hai dei massimi, che comportano equilibrio instabile.

Detto questo, esplicitando la (1) hai: (2) $" "(d^2x)/(dt^2)=-$5$x^5+5x^3-4x=-x(x+2)(x-2)(x^2-1)" "$¹;

volendo ricondursi all'equazione dell'oscillatore armonico (3): $" "(d^2x)/(dt^2)=-omega^2*x" "$, si può approssimare

il secondo membro della (2) in modi diversi a seconda che si consideri $x approx 0" "$ oppure $x approx +-2" "$. Rispettivamente ottieni:

- $(d^2x)/(dt^2)=-4*x" "$ per $x approx 0" "$, che per confronto con la (3) dà $omega=2$ ;

- $(d^2x)/(dt^2)=-24*(x+-2)" "$ per $x approx +-2" "$, che analogamente dà $omega=sqrt(24)$ .

Salvo miei errori.

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Note

1. il polinomio è privo di quel coefficiente $5$ davanti ad $x^5$, la versione corretta è quella precisata da @Insubrico nel messaggio che segue. ↑

[Insubrico]

Ciao,

Non è che ci sia un errore nel polinomio:

$-5*x^5+5*x^3-4*x$ perché io ottengo $-x^5+5*x^3-4*x$ confermato da $-x*(x+2)*(x-2)*(x^2-1)$

Saluti.

[Palliit]

Sì, certo, @Insubrico, il copia-incolla ha colpito ancora.

Correggo, grazie.

[Insubrico]

ciao,

Però non ho ancora capito come si arriva alla radice di 24 nella soluzione.

Salve.

[Palliit]

non ho ancora capito come si arriva alla radice di 24 nella soluzione.

Per esempio prendendo $" "x approx +2$ :

il modo più grossolano è quello di prendere l'espressione $" "-x(x+2)(x-2)(x^2-1)" "$ e di approssimare tutte le parentesi, tranne la $(x-2)$, con quanto si ottiene sostituendo $x=2$, hai:

$" "-x(x+2)(x-2)(x^2-1) approx -2(2+2)(x-2)(4-1)=-24(x-2)" "$.

Se ti sembra troppo brutale, prendi la funzione $f(x)=-x^5+5x^3-4x" "$, sviluppala in serie di Taylor intorno a $x=2$ arrestandoti al prim'ordine:

$f(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+o(x-2)" "$;

hai: $" "f(2)=0" "$,$" "f'(x)=-5x^4+15x^2-4" "to" "f'(2)=-24" "$,

da cui: $" "f(x) =-24(x-2)+o(x-2)" "$.

Ottieni così l'equazione differenziale $" "(d^2x)/(dt^2)=-24(x-2)" "$ che, se poni:$" "z=x-2$ , diventa: $" "(d^2z)/(dt^2)=-24z" "$, equazione di un oscillatore armonico di pulsazione $omega=sqrt(24)$.

Analogamente per $" "x approx-2" "$.

Salvo errori, ovviamente.