[RISOLTO] Dubbi teorici su reazione vincolare e forze

[Escher]

Buon pomeriggio a tutti, sto svolgendo un esercizio, trovato online, di cui riporto il testo:

Un muratore di massa M = 100 kg si trova seduto su una piattaforma di massa m = 20 kg in prossimità di un’impalcatura. Egli regge un estremo di una fune (inestensibile e priva di massa); l’altro estremo della fune, tramite una carrucola priva di massa fissata alla sommità dell’impalcatura, è agganciato alla piattaforma. Il muratore, per muoversi verso l’alto, tira la fune con una forza tale che la forza da egli esercitata sulla piattaforma vale F = 500 N. Determinare l’accelerazione del muratore, della piattaforma e la tensione della fune.

Per il disegno dato dall'esercizio e la soluzione seguite il link (Esercizio 2): http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... _02_11.pdf

Ora io avevo pensato di fare il diagramma di corpo libero (digramma delle forze) separatamente per l'uomo e per la piattaforma.

Per entrambi prendo l'asse delle y rivolto verso l'alto.

Per l'uomo/muratore:

\(\displaystyle y: N_{p}-Mg + T -F = M*a_{M} \)

Dove \(\displaystyle N_{p} \) è la componente normale della reazione vincolare che esercita la piattaforma sull'uomo e \(\displaystyle a_{M} \) è l'accelerazione dell'uomo.

Per la piattaforma:

\(\displaystyle y: T - m*g = m*a_{m} \)
Dove \(\displaystyle a_{m} \) è l'accelerazione della piattaforma.


Ora vedendo le soluzione, tutto ciò è errato così mi sono sorte delle domande:
1) Perchè non esiste la reazione vincolare nell'equazione dell'uomo/muratore? Secondo me c'è perchè l'uomo per non cadere deve essere sorretto da una forza e secondo me è proprio la reazione vincolare.
2) Perchè la forza è positiva nell'equazione dell' uomo/muratore? Per salire su dovrebbe applicare una forza verso il basso o mi sbaglio?
3) Non esiste la reazione vincolare nell'equazione della piattaforma? Io non l'ho messa perchè la piattaforma non è sorretta da nulla, cioè solo dalla corda che è inestensibile.
4)Perchè nella soluzione dell'equazione della piattaforma va messa anche la forza? La forza viene applicata solo dall'uomo/muratore sulla corda. Mi ricordo che a lezione il prof. ci diceva che la forza andava disegnata (nel diagramma delle forze) solo su chi ne era in contatto.
5) Perchpè le due accelerazioni sono le stesse?

Forse non so bene cosa sia la reazione vincolare e quando va messa e quando no.

Grazie a tutti per i consigli, scusate per le tante domande.

[Shackle]

Il testo dice che l'uomo esercita la forza $vecF$ sulla piattaforma. LA piattaforma non si sfonda o cade giù . La piattaforma esercita sull'uomo la forza opposta $-vecF $ . Come vedi dalla soluzione , la forza è presente in entrambe le equazioni.
L'accelerazione è la stessa , perchè tra i due corpi c'è una relazione di vincolo , che li fa accelerare insieme . I due corpi rimangono attaccati .

[Escher]

Intanto grazie della risposta.

LA piattaforma non si sfonda o cade giù.

Sono sicuro che quello che dici è giusto ma perchè? Come faccio a supporre che sia così?

Il testo dice che l'uomo esercita la forza \(\displaystyle \overrightarrow{-F} \)sulla piattaforma. [..] La piattaforma esercita sull'uomo la forza opposta \(\displaystyle \overrightarrow{-F} \) . Come vedi dalla soluzione , la forza è presente in entrambe le equazioni.

Si infatti vedo che è presente in entrambe le equazioni ma leggo anche che l'uomo tira la fune per spostarsi verso l'alto quindi deduco che la forza la metta nel tirare la fune verso il basso. Comunque anche se l'umo esercitasse la forza sulla piattaforma , nel sistema di riferimento preso anche dalla soluzione , dovrebbe essere \(\displaystyle -F \) (nell'equazione del muratore) o mi sbaglio? Va verso il basso, opposta all'asse y.
Mentre nel diagramma delle forze della piattaforma \(\displaystyle F \) dovrebbe essere positiva perchè il corpo (la piattaforma) produce una forza uguale e contraria a quella applicata.

L'accelerazione è la stessa , perchè tra i due corpi c'è una relazione di vincolo , che li fa accelerare insieme . I due corpi rimangono attaccati.

Questa considerazione mi era sfuggita, grazie ho capito.


Grazie delle eventuali risposte.

[Shackle]

Intanto grazie della risposta.

LA piattaforma non si sfonda o cade giù.

Sono sicuro che quello che dici è giusto ma perchè? Come faccio a supporre che sia così?

È l'ipotesi di base del problema, no? Se la piattaforma si sfonda o cade giù, addio problema. Si suppone che la piattaforma abbia robustezza sufficiente, altrimenti....poveraccio !

Il testo dice che l'uomo esercita la forza \(\displaystyle \overrightarrow{-F} \)sulla piattaforma. [..] La piattaforma esercita sull'uomo la forza opposta \(\displaystyle \overrightarrow{-F} \) . Come vedi dalla soluzione , la forza è presente in entrambe le equazioni.

Si infatti vedo che è presente in entrambe le equazioni ma leggo anche che l'uomo tira la fune per spostarsi verso l'alto quindi deduco che la forza la metta nel tirare la fune verso il basso. Comunque anche se l'umo esercitasse la forza sulla piattaforma , nel sistema di riferimento preso anche dalla soluzione , dovrebbe essere \(\displaystyle -F \) (nell'equazione del muratore) o mi sbaglio? Va verso il basso, opposta all'asse y.
Mentre nel diagramma delle forze della piattaforma \(\displaystyle F \) dovrebbe essere positiva perchè il corpo (la piattaforma) produce una forza uguale e contraria a quella applicata.

Innanzitutto , ho scritto :

Il testo dice che l'uomo esercita la forza $vecF$ sulla piattaforma.

perchè metti il segno "$-$" davanti a $vecF$ , modificando quello che ho scritto io ? Ho scritto un vettore , i vettori non sono positivi o negativi. Se dunque chiamo $vecF$ il vettore forza che l'uomo esercita sulla piattaforma, e lo oriento verso il basso , la sua componente sull'asse $y$, che è orientato verso l'alto , è negativa .
LA forza di reazione , che la piattaforma esercita sull'uomo , sarà $-vecF$ , ma quel segno $-$ significa solo "vettore opposto ad $vecF$ , non è un vettore negativo, non si parla di vettori negativi . LA componente di $-vecF$ sull'asse $y$ è $F$ , positiva.

Le due equazioni del moto, scritte pre la piattaforma e per l'uomo prima in forma vettoriale e poi proiettate sull'asse $y$ , sono :

1) per l'uomo :

-forma vettoriale : $ Mveca = -vecF +vec\tau +Mvecg$
-forma scalare ( proiezione su y ) : $ Ma = F + \tau -Mg $

2) per la piattaforma :

-forma vettoriale : $ mveca = vecF+vec\tau +mvecg$
-forma scalare (proiezione su y ) : $ ma = -F-mg +\tau $

Fatti un disegno, forse ti aiuta.

[Escher]

Ciao, scusami se rispondo solo ora ma ho fatto altri esami nel frattempo.

perchè metti il segno "−" davanti a \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) , modificando quello che ho scritto io ?

Scusa nel copiare ho sbagliato a scrivere.

Ancora non mi è chiaro.

Se dunque chiamo \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) il vettore forza che l'uomo esercita sulla piattaforma, e lo oriento verso il basso , la sua componente sull'asse y, che è orientato verso l'alto , è negativa .

Sono d'accordo, infatti proiettando sull'asse delle y per l'uomo ho che F è negativa: \(\displaystyle -mg+T-F = ma \)
Ma poi scrivi:

\(\displaystyle M\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{F} + \overrightarrow{T} + \overrightarrow{mg}\)
\(\displaystyle Ma = F + T - Mg \)

Ma F non doveva essere negativa? Hai messo il vettore opposto ad \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) in forma vettoriale e non capisco il perchè.

Ho allegato i due grafici che ho fatto, si legge un po' male ma penso che tu riesca a capire.

Stessa cosa per quanto riguarda la piattaforma, sono d'accordo che è positiva: \(\displaystyle T - mg + F = ma \) ma poi la scrivi negativa in forma scalare.

In definitiva a me viene così:

Uomo:
\(\displaystyle -mg+T-F = ma \)

Piattaforma:
\(\displaystyle T - mg + F = ma \)


Grazie delle eventuali risposte.

[Shackle]

.....
Ancora non mi è chiaro.

Se dunque chiamo \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) il vettore forza che l'uomo esercita sulla piattaforma, e lo oriento verso il basso , la sua componente sull'asse y, che è orientato verso l'alto , è negativa .

Sono d'accordo, infatti proiettando sull'asse delle y per l'uomo ho che F è negativa: \(\displaystyle -mg+T-F = ma \)
Ma poi scrivi:

\(\displaystyle M\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{F} + \overrightarrow{T} + \overrightarrow{mg}\)
\(\displaystyle Ma = F + T - Mg \)

Ma F non doveva essere negativa? Hai messo il vettore opposto ad \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) in forma vettoriale e non capisco il perchè.

Ancora non ti è chiara la differenza tra una equazione vettoriale , e la sua proiezione su un asse. Una equazione vettoriale si scrive indipendentemente da qualsiasi asse su cui vada poi proiettata. Hanno inventato i vettori proprio per questo, si può dire .

Più sopra , ho scritto che $-vecF$ è diretta verso l'alto, come l'asse $y$ , quindi la sua componente su $y$ è positiva . Ecco la mia frase :

LA componente di $−vecF$ sull'asse y è $F$ , positiva.

[Escher]

Grazie della risposta.

Ancora non ti è chiara la differenza tra una equazione vettoriale , e la sua proiezione su un asse. Una equazione vettoriale si scrive indipendentemente da qualsiasi asse su cui vada poi proiettata.

Forse hai ragione, faccio un passo indietro e provo a descriverti i mie dubbi. Visto che una equazione vettoriale si scrive indipendentemente da qualsiasi asse su cui vada poi proiettata, dovrebbe essere indifferente se chiamo \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) o \(\displaystyle -\overrightarrow{F} \)la forza esercitata dall'uomo sulla piattaforma, giusto? Quindi di conseguenza posso chiamare \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) o \(\displaystyle -\overrightarrow{F} \) anche la forza uguale e contraria esercitata dalla piattaforma sull'uomo.
Quindi i casi sono due:
1) chiamare \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) la forza esercitata dall'uomo sulla piattaforma e \(\displaystyle -\overrightarrow{F} \) quella esercitata della piattaforma sull'uomo.

2) chiamare \(\displaystyle -\overrightarrow{F} \) la forza esercitata dall'uomo sulla piattaforma e \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) quella esercitata della piattaforma sull'uomo.

Nel primo caso in forma vettoriale verrebbe:
Uomo: \(\displaystyle \overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{mg} = m\overrightarrow{a} \)
Piattaforma: \(\displaystyle -\overrightarrow{F} + \overrightarrow{T} + \overrightarrow{mg} = m\overrightarrow{a}\)

Nel primo caso, proiettando sull'asse delle y:
Uomo: \(\displaystyle -F+T-mg = ma \)
Piattaforma: \(\displaystyle F + T - mg = ma\)

Nel secondo caso in forma vettoriale si avrebbe:
Uomo: \(\displaystyle -\overrightarrow{F} + \overrightarrow{T} + \overrightarrow{mg} = m\overrightarrow{a}\)
Piattaforma: \(\displaystyle \overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{mg} = m\overrightarrow{a} \)

Nel secondo caso, proiettando su y, avrei:
Uomo: \(\displaystyle F + T - mg = ma\)
Piattaforma: \(\displaystyle -F+T-mg = ma \)

Se è corretto, posso scegliere tra il caso 1 e il caso 2 indifferentemente (io ho scelto il caso 1 nei precedenti post).
Per favore correggimi se sbaglio

Grazie della pazienza!

[Shackle]

Certamente sei libero di battezzare una certa forza col nome che vuoi . Ma , fatto questo, devi seguire la scelta fatta fino in fondo.

[Escher]

Grazie della risposta e soprattutto della pazienza!