Testo: Su una sottile bacchetta di materiale isolante, piegata in modo da formare una semicirconferenza di raggio R, è distribuita uniformemente una carica q. Calcolare il campo elettrico E nel centro O.
Io ho fatto così:
$ lambda =Q/(piR)=(dq)/(dl) $ allora $ dq=lambdadl=lambdaRdvartheta $
\( d\overrightarrow{E_1}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_1}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(sin\vartheta_1 \overrightarrow{u_x}-cos\vartheta_1\overrightarrow{u_y}) \)
\( d\overrightarrow{E_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(sin\vartheta_2 \overrightarrow{u_x}+cos\vartheta_2\overrightarrow{u_y}) \)
Dato che \( \vartheta _1=\vartheta _2 \) (perché li faccio partire insieme), allora:
\( d\overrightarrow{E}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_1}+\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(2sin\vartheta\overrightarrow{u_x}) \)
\( \int\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(2sin\vartheta\overrightarrow{u_x})=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2\int -sin\vartheta d \vartheta=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2[cos \vartheta]^{0}_{\pi/2}=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2[cos0]=\frac{-2\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2} \)
Dunque:
\( \overrightarrow{E}=\frac{Q}{\pi R} \frac{-2 R}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_x} =\frac{-2Q}{4\varepsilon_o(R \pi)^2}\overrightarrow{u_x} \)
Il libro giunge allo stesso risultato ma senza il \( - \) facendo così:
inoltre integra da \( \frac{\pi}{2} \) e \( -\frac{\pi}{2} \) (A tal proposito perché non integra tra 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e poi moltiplica per 2?)
Spero di essermi spiegato bene, grazie in anticipo!
