Calcolo degli errori

[nisticforce]

Buonasera
lunedì scorso siamo andati in laboratorio e abbiamo fatto degli esperimenti sulla densità. Avevamo dieci cilindri dello stesso materiale ma di dimensioni diverse. Li abbiamo pesati con una bilancia di precisione 0.1 g.
Poi abbiamo inserito i campioncini uno alla volta in una provetta (con risoluzione di 2 ml e incertezza dello strumento 0.5 ml) riempita di acqua per calcolare i singoli volumi.
Questi i volumi le masse ottenute e la densità calcolata
massa volume densità
12.5 4 3.1
25.5 10 2.6
38.5 12 3.2
49.5 18 2.8
64.0 24 2.7
77.0 28 2.8
95.0 36 2.6
110.0 40 2.8
121.0 44 2.8
135.5 50 2.7
Ho disegnato il grafico della densità con la massa in funzione del volume, ho tracciato la retta che meglio approssima i punti e ho ottenuto la retta $ y=2.7x$. Notare che la media delle densità è invece $2.8g/cm^3$.
Devo però calcolare la propagazione degli errori nella densità. Avevo pensato di usare la seguente formula
$sigma(densità)=(1/V^2 * sigma(massa)^2 +m^2 /V^4 *sigma(volume)^2 -2*m/V *C(m,V))^(1/2)$
in cui $sigma(massa)=$incertezza bilancia$ /sqrt(3)=0.1g$, $sigma(volume)=$incertezza provetta$=0.5ml$ e avrei considerato $V=1cm^3$ e $m=2.7g$ rifacendomi quindi all'equazione della retta ottenuta dal grafico. Unico problema è che non so come calcolare la covarianza.
Sto andando verso la strada giusta o sto proprio sbagliando ragionamento ? Potreste darmi una dritta ?
Grazie

[HaldoSax]

Ciao nisticforce, in generale data una funzione $f(x_{i})$ puoi scrivere:

\begin{equation}

\sigma_{f}=\sqrt{\sum_{i} (\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\sigma_{x_{i}})^2}
\end{equation}

[singularity]

Non sei stato molto chiaro sullo scopo dell'esperimento, suppongo servisse a provare la relazione lineare tra voulme e massa di un oggetto. In questo caso, ciò che puoi fare è appunto trovare la retta che meglio interpoli i punti (si ricava una formuletta molto pratica per farlo sulla base dei dati), il coefficiente angolare di questa retta sarà appunto la densità del materiale.

Nell'ipotesi che le incertezze sulle $y$ siano tutte uguali, come è in questo caso, diciamo che questa retta dovrebbe essere nella forma:

$y = Bx$

Si dimostra tramite il principio di massima verosimiglianza che la miglior stima per B è:

$(sum(x_i y_i))/(sum (x_i)^2)$

ovviamente le $x_i$ sono le misure di volume le $y_i$ le misure delle masse.

La miglior stima per l'incertezza su $B$ (cioè la densità), sempre tramite il principio di massima verosimiglianza, si dimostra essere:

$sigma_B = (sigma_y)/(sqrt(sum(x_i ^2)))$

A dire il vero, queste formulette valgono nell'ulteriore ipotesi che l'incertezza sulle $x$ sia trascurabile, cosa non vera in questo caso. Fortunatamente basta fare qualche magheggio per poterle usare comunque, senza trascurare l'errore sulle x. In questo caso dovrai utilizzare una retta in cui il $sigma_y$ tiene conto anche degli errori sulla $x$ tramite la formula:

$sigma'_(y) = sqrt((sigma_y)^2 + (B sigma_x)^2)$ e trattare le x come non avessero incertezze, tornando quindi al caso precedente.

Per quanto riguarda la covarianza, non serve altro che applicare la definizione, e in questo caso dovrebbe essere circa nulla, essendo le misure di massa e volume indipendenti.

Tutto ciò che ti ho detto è spiegato dettagliatamente nel (secondo me stupendo) libro:

"J. R. Taylor - Introduzione all'analisi degli errori"

Spero di essere stato abbastanza chiaro, per qualsiasi dubbio chiedi pure