Elettrostatica

[Marcot]

Salve ragazzi è da un po' che provo questo esercizio ma non riesco a trovarmi con il risultato.

entro una semisfera di raggio R si ha una distribuzione di carica con densità volumetrica costante $\rho $; si calcoli il modello della forza agente su una carica puntiforme q posta sulla retta perpendicolare alla faccia piana della semisfera nel centro di questa, e distante $a>R$ dal centro.

Io ho considerato un elementino di volume $d\tau$ e ho proiettato la Forza sulla retta, poiché le altre componenti, sull'asse perpendicolare alla retta si annullano.

Quindi:

\( dF=\frac{q\rho cos\vartheta d\tau}{4\pi \varepsilon _0(a^2+r^2)} \)

\( d\tau =r^2sin\vartheta drd\vartheta d\phi \) in coordinate sferiche. Ora il primo dubbio nell'elemento infinitesimo di Forza ho un $cos \theta$ che non è lo stesso $\theta$ del volume in coordinate sferiche?

comunque sostituendo e integrando:

\( F=\iiint_{V}^{}\,\frac{q\rho cos\vartheta r^2sin\vartheta}{4\pi \varepsilon _0(a^2+r^2)} dr\, d\vartheta \, d\phi \)

Ora però non mi trovo considerando che \vartheta varia tra $ [0,\frac{\pi}{2}]$ e che $\phi$ invece varia tra $[0,2\pi]$. Non capisco neanche come comportarmi con i due theta l'uno della proiezione e l'altro del volume.

Facendo altri esercizi, ho provato un'altro approccio che imho dovrebbe essere più valido ma comunque non mi trovo.
Ho preso il campo elettrico generato da un anello carico e ho integrato il volume con theta che varia da 0 a pi/2, phi da 0 a 2pi e r da 0 a r, però non lo stesso non mi trovo. Scusatemi queste ultime righe che ho scritto frettolosamente, più tardi le sistemo.