Formula dell'energia cinetica (dubbio)

[Matte]

Ciao, sto studiando teoria e mi sono imbattuto in una cosa banale, che però non capisco. Partendo dal lavoro, ricaviamo l'energia cinetica:
$W_(est)= \int_{x_i}^{x_f} ma dx = \int_{x_i}^{x_f} m * ((dv)/(dt)) dx = \int_{x_i}^{x_f} m * ((dv)/(dx)) * (dx/dt) dx = \int_{v_i}^{v_f} mv dv$ quindi $W_(est) = 1/2 m * (v_f^2) - 1/2 m * (v_i^2)$
Io non capisco questa formula: $\int_{x_i}^{x_f} m * ((dv)/(dx)) * (dx/dt) dx = \int_{v_i}^{v_f} mv dv$ perchè all'inizio aggiunge dal nulla $dx$ a numeratore e al denominatore, e poi infine non capisco quelle strane semplificazioni che ha fatto per arrivare all'integrale da $v_i$ a $v_f$ con solamente un prodotto di $m * v$ in $dv$. Deve essere qualcosa di molto semplice, se qualcuno riesce a spiegarmelo mi farebbe un grosso favore..

[Maurizio Zani]

Hai già fatto le derivate composte, la derivata di una funzione di funzione?

[Matte]

Si, le ho fatte alle superiori.. riesci per favore a scrivere quei piccoli passaggi delle derivata composta in questo caso? Cosi capisco meglio..

[CaMpIoN]

Credo che non è necessario quel passaggio, non so' perché è stato effettuato, ma era superfluo. Comunque per la semplificazione ha semplicemente sostituito il rapporto tra spostamento e tempo con la velocità, infatti la velocità è il rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato. Per quanto riguarda il fatto di $v_f$ e $v_i$ puoi pensare che alla posizione $x_i$ hai la velocità $v_i$ e alla posizione $x_f$ hai la velocità $v_f$.