Urto con asta che trasla e ruota

[cucinolu95]

Buonasera a tutti, sto provando a risolvere un problema di fisica 1 ma c'è un passaggio che mi sfugge.

Dato un sistema costituito da un'asta di lunghezza l e massa M, incernierata nel suo centro ad una guida orizzontale sulla quale può scivolare senza attrito. Un corpo di massa m si muove con velocità iniziale v0 orizzontale e ortogonale all'asse e urta su questa in maniera completamente anelastica. Il problema mi chiede di determinare la velocità angolare dell'asta dopo l'urto e la velocità angolare dell'asta quando questa si trova in direzione orizzontale.

asta.png

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Dopo l'urto varia la posizione del centro di massa, che posso ricavare senza problemi.
Alla prima domanda rispondo considerando la conservazione del momento angolare nella quale è presente il termine della velocità del centro di massa che trovo considerando la conservazione della quantità di moto lungo l'asse x. La quantità di moto si conserva nonostante l'asta sia vincolata perchè questa può scivolare senza attrito lungo la guida quindi non ci sono forze esterne che compiono momento.

per il secondo punto mi sembra di aver capito che devo usare la conservazione dell'energia, dato che interviene solo la forza peso che è conservativa. scrivo pertanto:
$ 1/2Iw^2+1/2(m+M)vcm^2=mg(l/2) $
devo considerare energia cinetica iniziale? secondo me no perchè considera la conservazione subito dopo l'urto.
seconda dubbio: la velocità del centro di massa quando l'asta è orizzontale quanto vale? $ v=sqrt(vx^2+vy^2) $ quanto vale la componente vx e quanto la componente vy?
Grazie mille in anticipo

[cucinolu95]

c'è nessuno? che è successo al forum?

[professorkappa]

Allora, non si conserva energia cinetica durante l'urto.
Si conservano pero momento angolare rispetto alla cerniera e quantita' di moto.

Queste due equazioni garantiscono che:

$mv_0=(M+m)v_[cm]$ (quantita di moto)

e

$mv_0l/2=1/2I_comega+(m+M)*d*v_[cm]$ dove $I_c$ e' il mom. di inerzia rispetto alla cerniera della massa m e della sbarra M e d la distanza del baricentro del "corpo composito" dalla cerniera. Dq queste 2 equazioni ricavi le 2 incognite $omega$ e $v_[cm]$.

Dopodiche imponi la conservazione dell'energia

[cucinolu95]

ok, chiarissimo ma continuo a non capire se al termine vcm, quando scrivo la conservazione dell'energia (che scriverei proprio come come ho scritto nella mia domanda), devo sostituire semplicemente il valore che trovo con quelle relazioni che hai scritto tu? oppure devo considerare la vcm, quando l'asta si trova nella posizione orizzontale, come somma della componente lungo x coincidente con vcm (per definizione di corpo rigido) più la componente y che scriverei come ωd (dove d è la distanza dal centro dell'asta e il centro di massa)?
$ 1/2Iw^2+1/2(m+M)vcm^2=mg(l/2) $ oppure
$ 1/2Iw^2+1/2(m+M)(vcm^2+(ωd)^2)=mg(l/2) $

[professorkappa]

Direi la seconda, a mente (non ho un pezzo di carta sottomano, provo a svolgere i calcoli qui).

Immediatamente dopo l'urto, il corpo ha energia meccanica pari a
$1/2(m+M)v_[cm]^2+1/2I_Gomega^2+(M+m)g*d$.
Attento che ora $I_G$ e' il momento di inerzia rispetto al baricentro che NON e' situato nella cerniera ma a distanza d da essa (d e' facile da calcolare, vale $d=mL/[2(M+m)]$).

Non ci sono forze orizzontali, per cui la componente orizzontale della velocita del centro di massa resta costante e pari a $v_[cm]$; ma a causa della forza peso, la sua componente verticale varia.

Quando la sbarra e' orizzontale la componente verticale della velocita del cdm vale $omega_1d$ e quindi l'energia meccanica a barra orizzontale si scrive $1/2I_Gomega_1^2+1/2(M+m)V_[cm]^2$ con $V_[cm]^2=v_[cm]^2+omega_1^2d^2$

Quindi deve valere:
$1/2(m+M)v_[cm]^2+1/2I_Gomega^2+(M+m)g*d=1/2I_Gomega_1^2+1/2(M+m)[v_[cm]^2+omega_1^2d^2]$

che semplificata ti da $1/2I_Gomega^2+(M+m)g*d=1/2I_Gomega_1^2+1/2(M+m)omega_1^2d^2$

Raccogliendo $omega_1^2$, il secondo membro diventa $1/2[I_G+(M+m)d^2]omega_1^2$, dove $I_G+(M+m)d^2 $ altro non e' che $I_C$ calcolato nella prima parte dell'esercizio (momento di inerzia rispetto alla cerniera).

Quindi si ottiene: $1/2I_Gomega^2+(M+m)g*d=1/2I_Comega_1^2$ da cui

$omega_1^2=sqrt((I_Gomega^2+2(M+m)g*d)/I_C)$

[cucinolu95]

Grazie mille per essere stato così chiaro e completo nella spiegazione

[professorkappa]

Si fa quel che si puo'.