Esercizio sul momento angolare

[Bonny94]

Buondì, ho parecchi dubbi su un esercizio di calcolo del momento angolare totale.
Questo è il testo:

Le lancette delle ore e dei minuti del Big Ben, l'orologio della torre di Londra, sono lunghe rispettivamente 2.70 m e 4.50 m ed hanno una massa, rispettivamente, di 60.0 kg e 100 kg. Calcolare il momento angolare totale di queste lancette rispetto al punto centrale. Si assimilino le lancette a una barra uniforme e sottile.

Ho tentato in due modi differenti, che mi portano a risultati atroci. Ecco come ho fatto:
ho calcolato il momento d'inerzia separatamente per entrambe le lancette, utilizzando la formula $ 1/3 M R^2 $ (barra sottile). Da cui, il momento d'inerzia della lancette delle ore vale $145,8 (kg)/m^2$, mentre quello della lancetta dei minuti $675 (kg)/m^2$.

Ora, per trovare il momento angolare L mi occorrono le due velocità angolari $w$, che trovo facendo $ (2 pi)/T$ , dove T vale 3600 secondi per la lancetta delle ore e 60 per quella dei minuti. Trovo così 0,0017 e 0,1047 $(rad)/s$.

E' qui che ho tentato in due modi differenti:

1) Ho moltiplicato l'inerzia della prima lancetta per la sua velocità angolare, ho fatto la stessa cosa con la seconda lancetta ed ho sommato i risultati, ovvero $ L = I1*w1 + I2*w2 $. Risultato = 70,91
2) ho lasciato perdere l'inerzia e mi sono basato sulla formula $I=rp$ dove p è la quantità di moto mv, mentre r è qui riconducibile alla lunghezza delle lancette. Conoscendo la velocità angolare ho ricavato la velocità lineare, ed ho svolto $r1^2 * M1 * w1 + r2^2 * M2 * w2$ . Risultato = 212,74

Entrambi i risultati sono scorretti (il risultato dovrebbe essere $1,20 (Kg*m^2)/s$ ).
Mi interesserebbe sapere:
a) qual è il modo corretto di procedere
ma soprattutto
b) cosa è sbagliato nelle due modalità con cui ho operato io. Perché non posso applicare il prodotto di raggio e quantità di moto? Nel primo modo è corretto sommare i due momenti angolari?

Grazie!

[professorkappa]

La lancetta delle ore compie un giro ($2pi$) in 24 ore pari a 24x60x60 secondi
I minuti compiono lo stesso angolo in un'ora (60x60 secondi).

$L=I_momega_m+I_o omega_o$

Non so bene come calcoli il metodo alterntivo, ma r e' pari a L/2 per ogni lancetta, poiche devi considerare la quantita di moto del baricentro che e' a distanza L/2 dal asse dell'orologio. Ma il sistema piu' semplice e' usare $Iomega$

[Vulplasir]

Non c'è un altro metodo, la quantità di moto si può calcolare come la quantità di moto del centro di massa, ma il momento angolare dell'asta non è uguale al momento angolare del centro di massa

[professorkappa]

Ah, si. Non avevo letto bene, credevo facesse $L=Iomega=Iv/L$ invece del corretto valore $I2v/L$, e non riuscivo nemmeno a capire perche facesse questo giro strano

[Bonny94]

Ok, ho capito quali sono stati due errori da parte mia:
- errore nei due periodi T delle lancette (ho scioccamente considerato il periodo della lancetta delle ore come un'ora e quello della lancetta dei minuti come un minuto)
- errore nell'aver usato come "r" l'intera lunghezza delle lancette anziché la distanza tra l'asse di rotazione e il centro di massa $r/2$

Tuttavia non mi tornano nuovamente i calcoli.
Il momento d'inerzia della lancetta delle ore vale $1/3 * 60kg * ((2,7 m)/2)^2 = 36,45 kg*m^2$ e quello della lancetta dei minuti $168,75 kg*m^2$.
Le rispettive velocità angolari sono $(2pi)/86400 = 0,000073$ e $(2pi)/3600 = 0,001744$.
Se poi calcolo $L=I1ω1+I2ω2$ il risultato è 0,2969, in disaccordo con il risultato dato dal testo.
Non credo sia necessario calcolare $v/r$ quando ho già a disposizione ω, no?

Non c'è un altro metodo, la quantità di moto si può calcolare come la quantità di moto del centro di massa, ma il momento angolare dell'asta non è uguale al momento angolare del centro di massa

Praticamente essendo l'asta un corpo rigido non ha senso calcolarne la quantità di moto da utilizzare per il calcolo del momento angolare, giusto? Il metodo che ho utilizzato io nel punto 2) avrebbe potuto aver senso nel caso in cui, anziché la lancetta, avessi avuto un punto materiale a distanza r dall'asse?

[Bonny94]

Siccome ho risolto, spiego dove ho sbagliato la seconda volta, nel caso possa tornare utile a qualcuno:
per il calcolo dell'inerzia delle due lancette occorre effettivamente utilizzare $1/3 MR^2$ con R = l'intera lunghezza delle lancette (sono posizionato al centro dell'orologio). Così i conti tornano.