Particella relativistica - trasformata di Legendre

[Nattramn16]

Ciao a tutti
Sto studiando relatività speciale e mi trovo in difficoltà essenzialmente con una frase (si, letteralmente solo una maledettissima frase che ha detto il prof e che mi causa tanti dubbi). Faccio un minimo di riepilogo e introduco la mia domanda:
nello studio del moto (nel limite relativistico, ovviamente) di una particella libera abbiamo considerato l'azione , definita come un funzionale che agisce su una curva parametrizzata, quindi $ S=[\gamma] $ . Il parametro della curva ho scelto essere $ \tau $

Dunque ho:
$ S=\alphaint_(i)^(f) d\tausqrt(c^2(\frac{dt}{d\tau})^2-(\frac{dx}{d\tau})^2-(\frac{dy}{d\tau})^2-(\frac{dz}{d\tau})^2) $ .
riscrivendo:
$ S=-mc^2int_(i)^(f) dtsqrt(1-\frac{v^2}{c^2} $ (specifico che la costante $ -mc^2 $ è stata precedentemente determinata (non riporto qui i passaggi) e che gli estremi $ i $ e $ f $ sono i punti iniziali e finali della curva considerata.
Ora, abbiamo definito la Lagrangiana della particella come
$ L=-mc^2sqrt(1-\frac{v^2}{c^2}) $ .
Successivamente è stato detto di calcolare l'energia della particella relativistica ''considerando la trasformata di Legendre della Lagrangiana.''
Ora.. cosa vuol dire ? Qualche pia anima me lo spiega?
Grazie

[Shackle]

Ti posso dare qualche dritta . Innanzitutto, dai un'occhiata a questa dispensa ,
scritta in maniera chiara , sulla trasformata di Legendre ( ce ne sono altre, più complesse, ma quello che è detto qui è sufficiente, penso). Capito il meccanismo , si tratta di applicarlo alla lagrangiana della particella relativistica , per ottenere l'hamiltoniana , la quale non è altro che l'energia totale della particella, espressa in funzione di $p$ . Alla fine della dispensa, c'è anche l'applicazione alla particella relativistica.
Si tratta , in sostanza , di passare da certe variabili a variabili coniugate . Maggiori informazioni le trovi qui e

anche qui .

LA lagrangiana per la particella relativistica è invariante per trasformazioni di Lorentz, e te lo dice il fattore $1/\gamma$. L'hamiltoniana , cioè l'energia totale , non lo è. L'energia è infatti solo la componente temporale del 4-impulso. Sicuramente sai come si trasformano le componenti temporale e spaziale da un rif. in. a un altro.

Poi, se hai il testo di Landau " Teoria dei campi " ( che comunque puoi trovare in rete, in inglese ) , leggi i primi due paragrafi del cap. 2º , dove , senza troppe sofisticazioni e senza parlare di trasformata di Legendre, si spiega che l'energia totale della particella è esprimibile come :

$E = pv - L $

dove $L$ è la lagrangiana che hai scritto , e $p$ la quantita di moto, coniugata di $x$ : $p = (\partialL)/(\partial\dotx) $ .
L'energia totale , espressa in funzione dell'impulso, si chiama hamiltoniana , ed è :

$H = csqrt(p^2 + (mc)^2) $

e si può passare dall'una all'altra , e viceversa , con la "trasformazione di Legendre" .

[Nattramn16]

Ciao Shackle.
Si, ho il libro di Landau (in italiano perché preso dalla biblioteca). Grazie mille sei stato gentilissimo. Ora guardo bene le dispense... penso proprio che basti una spiegazione non eccessivamente formale della trasformata di Legendre ,anche perché non ricordo proprio di averla ancora affrontata nei corsi di matematica e non sono l'unica ahah .