Nattramn16 ha scritto:Ciao a tutti
Qualche giorno fa in classe abbiamo fatto questo esercizio. Ho la risoluzione...purtroppo il ragazzo che ci segue durante gli esercizi non è stato molto chiaro e ora riguardandolo mi trovo in difficoltà nel capire qualche passaggio. Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Ecco il testo+ soluzione.
Dato il tensore $ D^(\mumu) $ , mostrare che $ sum_(mu)D^(mumu) $ e $ sum_(mu)D_(mumu) $ non sono invariati, mentre $ sum_(mu)D_(mu)^(mu) $ lo è.
Prima osservazione : se si scrive $ D^(\mumu) $, oppure $ D_(mumu) $ , non si rispetta la convenzione di Einstein circa gli indici ripetuti : per sottintendere la sommatoria , gli indici ripetuti devono essere uno in alto (= indice controvariante ) e uno in basso (= indice covariante ) . Questa scrittura, dunque, per me è priva di significato, dal punto di vista dell'algebra tensoriale.
Tuttavia, diciamo pure di voler ignorare quanto detto, e di voler applicare la regola della sommatoria su indici ripetuti anche ora.
Dunque, per mostrare questa cosa,applico la trasformazione di Lorentz.
$ sum_(mu)(D^(mumu) )^(')=Lambda_(nu)^(mu)Lambda_(nu)^(mu)D^(nunu)= sum_(mu)(Lambda_(nu)^(mu))^2D^(nunu) $
la matrice $Lambda_(nu)^(mu)$ , se si parla di trasformazioni lineari
generiche , non deve essere necessariamente la matrice di Lorentz . Applicherai la matrice di L. se stai parlando di relatività ristretta . Ma se stai parlando di una trasformazione di coordinate generica, la matrice è lo jacobiano della trasformazione di coordinate $ x^\mu = x^\mu ( x^\alpha' )$ . (
vedere rettifica in nota 1 ) .
Il risultato che hai ottenuto , dimostra da solo che la trasformazione non è tensoriale : infatti , per la trasformazione di un tensore doppio controvariante , ci devono essere al secondo membro due matrici di trasformazione , e non il quadrato di una matrice. Insomma , scrivendo per bene sia i tensori che le matrici , devi avere :
$D^(\munu) = Lambda_(\alpha')^(mu)Lambda_(\beta')^(nu) D^(\alpha'\beta') $ ........(1)
dove le matrici sono, come precisato in nota :
$ Lambda_(\alpha')^(mu) = (partial x^(mu))/(partial x^(alpha') $
$ Lambda_(\beta')^(nu) = (partial x^(nu))/(partial x^(beta') $
e devi fare la sommatoria sia rispetto ad $\alpha' $ che rispetto a $ \beta' $ , uno per volta, non il quadrato, rispettando il prodotto tra matrici. Non riesco a spiegartelo meglio, ma un qualunque testo di calcolo tensoriale lo spiega bene.
e poi
$ sum_(mu)D_(mu)^(mu)=D_(mu)^(mu)=g_(munu)D^(munu)=D_(munu)Lambda_(alpha)^(nu)Lambda_beta^(mu)D^('alphabeta) $
continuando l'uguaglianza dice
$ Lambda_(mualpha)Lambda_(beta)^(mu)D^('alphabeta)=g_(betaalpha)D^('alphabeta)=D_(alpha)^('alpha) $ .
$ g_(munu) $ è il tensore metrico
Onestamente sono un po' confusa :/
Grazie mille:)
Faccio fatica a interpretare lo scritto . Ti metto i passaggi corretti :
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
dopo il secondo " $=$ " , ho scritto la trasformazione del tensore doppio controvariante $D^(alpha'beta')$ da un riferimento ad un altro mediante le due matrici ( è la formula (1) che ho scritto sopra) . Poi, tengo conto di come si trasforma $g_(munu) rightarrow g_(alpha'beta') $ , sostituisco , ed ottengo : $ g_(alpha'beta')D^(alpha'beta') = D_(beta')^(beta') $ , da cui l'invarianza.
L' innalzamento / abbassamento degli indici è una delle prerogative del tensore metrico .
La scrittura $ D_(mu)^(mu)=g_(munu)D^(munu) $ è corretta, e non è altro che l'invariante scalare o traccia: $ D_(mu)^(mu) = D_0^0 + D_1^1 + D_2^2 + D_3^3 $ , supponendo che lo spazio vettoriale abbia 4 dimensioni .
Visto che hai il Landau, ti consiglio di dare un'occhiata ai tensori su quel libro . Le voci sono un po' sparse, sia all'inizio in relativita speciale (4-vettori , pag 30) sia piu avanti ( rel generale) . Poi ti consiglio di cercare qualche dispensa di calcolo tensoriale sul web; ce ne sono tante , sia in italiano che in inglese . Ciao
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.
