Dubbio integrali e derivate - abbassamento crioscopico

[mathos2000]

Su Wikipedia per arrivare alla formula $DeltaT_c=K_c*m$ (dove m è molalità) è mostrato il seguente procedimento:

$\mu_A^*(s) = \mu_A^*(l) + RT \ln x_A$

<<e differenziando entrambi i membri dell'equazione rispetto alla temperatura, si ottiene>>

$\frac {d \ln x_A} {dT} = \frac {1} {R} \frac {d (\Delta_{fus}G/T)} {dT}$

<<che applicando l'equazione di Gibbs-Helmholtz>>

$( \frac {\partial \frac G T}{\partial T ))_P = - \frac {H} {T^2}$

<<diventa infine>>

$\frac {d \ln x_A} {dT} = - \frac {\Delta_{fus}H} {RT^2}$ PASSAGGIO QUATTRO

Ecco, ora il passaggio che non ho ben chiaro: <<Moltiplicando adesso ambo i membri per $dT$ e integrando rispettivamente il primo membro dal valore della frazione molare $x_A=1$ corrispondente al solvente puro (per cui, quindi,
$ln⁡x_A=ln⁡1=0$) al generico valore finale $x_A$ mentre il secondo membro viene integrato tra la temperatura $T^*$ (temperatura di fusione del solvente puro) e la temperatura $T$ (che corrisponderà alla temperatura di fusione della soluzione), considerando l'entalpia di fusione $\Delta_{fus}H$ costante nell'intervallo di temperatura considerato alla fine si ricava>>

$\ln x_A = \frac {\Delta_{fus}H} {R} ( \frac{1}{T} - \frac{1}{T^*})$ PASSAGGIO CINQUE
Poi la dimostrazione continua... ma comunque mi devo soffermare su un particolare (che interessa l'intera domanda).
Premesso che la mia domanda è puramente matematica vorrei un attimo vedere i passaggi che Wikipedia algebricamente non fa vedere tra il passaggio quattro e il passaggio cinque.

PASSAGGIO 4,1 (molitplichiamo ambo i membri per dT):
$\frac {d \ln x_A} {dT}*dT = - \frac {\Delta_{fus}H} {RT^2}*dT$

"CONSEGUENZA" DEL PASSAGGIO 4,1
$dlnx_A = \frac {\Delta_{fus}H} {RT^2}*dT$

PASSAGGIO 4,2 (integriamo primo e secondo membro: il primo membro fra ln 1, che fa 0, e un generico valore di x_A); il secondo fra la temperatura (Wikipedia scrive <<di fusione>> ma ho alcune perplessità a riguardo) del solvente puro ($T^*$) e la temperatura (<<di fusione>>) della soluzione che comprende dunque il soluto oltre al solvente:

$int_0^ln(x_A) dlnx_A =int_(T^*)^T (-(Delta_(fus)H)/(RT^2) *dT)$

"CONSEGUENZA" DEL PASSAGGIO 4,2 (integrale e derivata si semplificano?)
Il mio dubbio sta qui: senza il differenziale al primo membro, che senso ha il primo membro così?

Posso intuire che integrale e derivata si "semplificano" perchè sono uno l'inverso dell'altro... ma soltanto con d e senza dT cosa vuol dire?

PASSAGGIO 5
$\ln x_A = \frac {\Delta_{fus}H} {R} ( \frac{1}{T} - \frac{1}{T^*})$


Domande "aggiuntive": cosa indica quella "p" nell'equazione di Gibbs-Helmholtz? Perchè si parla sistematicamente di "fusione" (entalpia di fusione, temperatura di fusione del solvente puro, ecc.) quando l'abbassamento crioscopico riguarda quel punto di congelamento (solidificazione per intenderci) che viene "rimandato" a temperature più basse?

[dRic]

Ti rispondo un po' alla "carlona" perché non sono un matematico, né tanto meno appassionato della materia, ma, da studente di ingegneria, di queste robacce ne vedo fin troppe e spero di riuscirti a passare il concetto. La $d$ di fronte a una variabile vuol dire "differenza infinitesima" (ovvero molto piccola). Caso banale: ho una variabile $x$ che misura la distanza, lo spostamento è definito come $Deltax$, lo spostamento infinitesimo (piccolissimo) è definito come $dx$. Se la mia variabile non è più "semplice", ma è una funzione (ad esempio $ln(x)$) la cosa non cambia: la differenza infinitesima di una funzione $y=f(x)$ altro non è che la differenza infinitesima delle $y$, ti torna? Quindi $d(f(x)) = dy$, moltiplicando per $(dx)/(dx)$ ottengo:

$d(f(x)) = dy = ((dy)/(dx))*dx = f'(x)dx$ (è facile riconoscere la definizione di derivata).

Di qui è immediato che:

$int d(f(x)) = int f'(x)dx = f(x)$.

Tra l'altro la cosa che invece non capisco è proprio il primo passaggio... che non so da dove venga fuori

ps. $DeltaH_(fus) = -DeltaH_(sol)$

pss: la P come pedice significa che sta differenziando rispetto a $T$, ma considerando la pressione ($p$) costante