E' vero che, in un campo di forze, il modulo della velocità non dipende dal tempo, ma dalla posizione?

[Vulplasir]

Se pensi che quello valga anche per campi non conservativi, l'esempio di mgrau basta e avanza per dire che non è vero. Nella tua dimostrazione hai implicitamente usato un campo conservativo, infatti un campo posizionale dipendente solo da una coordinata (x nel tuo caso) è sempre conservativo, infatti ammette sempre potenziale $phi(x)=intF(x)dx$. Nella tua dimostrazione non c'è errore perché è giusta, ma appunto il campo usato è conservativo. In due o tre dimensioni la cosa non è così semplice, infatti non basta più che il campo sia dipendente solo dalla posizione, ma sono necessarie altri requisiti per essere conservativo (in primis la "irrotazionalita").

[Vulplasir]

Insomma, se ancora non ti fosse chiaro dove sta l'inghippo, quando uguagli $int_(x(t_0))^(x(t_1)) F(x)dx$ a $int_(x(t_0))^(x(t_2))F(x)dx$, lo puoi fare solo perché sei nel caso unidimensionale e vale quella proprietà che ti ho detto (ossia i campi posizionali unidimensionali sono sempre conservativi...perché? Perché la conservatività nel caso unidimensionale non è altro che il teorema fondamentale del calcolo integrale). Se tu avessi preso un campo di forze nello spazio, allora l'integrale $int_(P(t_0))^(P(t_1))F(P)dP$ non sarebbe per niente uguale a $int_(P(t_0))^(P(t_2))F(P)dP$...lo sarebbe solo se il campo in questione fosse conservativo. Ma questi sono argomenti tipici di analisi 2, che mi pare tu non abbia ancora affrontato.

[siddy98]

Insomma, se ancora non ti fosse chiaro dove sta l'inghippo, quando uguagli $int_(x(t_0))^(x(t_1)) F(x)dx$ a $int_(x(t_0))^(x(t_2))F(x)dx$, lo puoi fare solo perché sei nel caso unidimensionale e vale quella proprietà che ti ho detto (ossia i campi posizionali unidimensionali sono sempre conservativi...perché? Perché la conservatività nel caso unidimensionale non è altro che il teorema fondamentale del calcolo integrale). Se tu avessi preso un campo di forze nello spazio, allora l'integrale $int_(P(t_0))^(P(t_1))F(P)dP$ non sarebbe per niente uguale a $int_(P(t_0))^(P(t_2))F(P)dP$...lo sarebbe solo se il campo in questione fosse conservativo. Ma questi sono argomenti tipici di analisi 2, che mi pare tu non abbia ancora affrontato.

Credo di aver capito, grazie mille della pazienza!

Però c'è ancora una cosa che non mi torna: se in un campo 3D non conservativo ho che $L_{AB}=m/2(||\vec v_B||^2-||\vec v_A||^2)$, supponendo ancora che il corpo passi per $A$ negli istanti $t_1$ e $t_2$ (con $t_1<t_2$) e per $B$ negli istanti $t_3$ e $t_4$ (sempre con $t_3<t_4$), allora $\vec v_A$ e $ \vec v_B$ si riferiscono rispettivamente a $\vec v(t_1)$ e $\vec v(t_4)$ (ovvero le velocità quando passa per A per la prima volta e quando passa per B per l'ultima volta), giusto?

[Vulplasir]

No, lo decidi te cosa sono $v_A$ e $v_B$. Se il corpo passa piu volte da A e B, tuoi puoi applicare il teorema dell'energia cinetica tra due intervalli a piacere, il lavoro fatto dal campo, se non conservativo, sarà diverso, e le velocità saranno diverse.
Esempio: Supponiamo che in $t_1$ il corpo si trovi in $A$, poi vada in $B$ a $t_2$, poi vada di nuovo in $A$ a $t_3$ e poi ritorni in $B$ a $t_4$, se applichi il teorema tra A(t_1) e B(t_2) ottieni:

$L_(A(t_1)B(t_2))=1/2m(v_(A(t_1))^2 -v_(B(t_2))^2)$

Equivalentemente


$L_(A(t_3)B(t_4))=1/2m(v_(A(t_3))^2 -v_(B(t_4))^2)$

E anche

$L_(A(t_1)B(t_4))=1/2m(v_(A(t_1))^2 -v_(B(t_4))^2)$

Quei tre lavori elencati, se il campo è non conservativo, sono tutti e tre diversi tra loro, e le 4 velocità sono diverse tra loro. Se il campo fosse conservativo, il suo lavoro dipenderebbe solo da A e B, non da come ci arriva e da quante volte ci ripassa, quindi in quel caso quei tre lavori sarebbero uguali e risulterebbe v_A(t_1)=v_A(t_3) e v_B(t_2)=v_B(t_4)