Esercizio moto del proiettile e propagazione dell'errore

[Francesca.S]

Ciao ragazzi e buona Pasquetta!
Mi date una mano a capire il seguente esercizio?
"Un proiettile viene lanciato verso l'alto con un angolo di inclinazione rispetto all'orizzontale di $64,811°$. La velocità iniziale è $709,35 m/s$, con un errore di $0,87126 m/s$. Determinare l'errore in $m$ sull'altezza massima cui arriva il proiettile."

Dunque, prima di tutto devo trovare l'altezza massima $h$. Io pensavo di partire dal principio di conservazione dell'energia...
$1/2mv_i^2 + mgh_i = 1/2mv_f^2 + mgh_f$ , faccio le dovute semplificazioni e ottengo $1/2v_i^2 = gh_f$, da cui ricavo $h = v^2/(2g)$. Sostituisco con i dati che ho e trovo l'altezza massima, cioè $25654,9 m$.
Fin qui faccio bene??
Poi arriva il tasto dolente... devo trovare "Delta h" con la teoria della propagazione degli errori. Ci sto sbattendo la testa da un po', ma non sono riuscita a capire come si fa e su internet non trovo nulla... mi aiutate a capire?
Grazie infinite!

[mgrau]

Senza scomodare la teoria degli errori, l'altezza massima la otterrai con la velocità massima, ossia $709,35 m/s + 0,87126 m/s $, e l'altezza minima con la velocità minima, $709,35 m/s - 0,87126 m/s $. Sostituisci questi due valori nell'espressione che hai trovato $h = v^2/(2g)$ (sicura di questo risultato? Non conta niente l'angolo di lancio?), li sottrai uno dall'altro, ed eccoti servito $Delta h$ (magari diviso 2, se ti interessa l'errore assoluto)

[Francesca.S]

Non sono sicura di aver capito... sto studiando per questo esame da sola senza aver potuto frequentare le lezioni, quindi ti avviso che sono abbastanza un disastro anche se l'impegno c'è
Praticamente mi dici che la velocità massima e la velocità minima portano a due altezze diverse, sostituendo i due valori della velocità nella formula di h che ho trovato sbagliata e sottraendone i risultati, trovo semplicementissimamente $h$? Bello

PS: nella formula che ho trovato di $h$ sì, immaginavo che c'entrasse l'angolo di lancio, ma "come ce lo infilo"? Io quella formula l'ho ricavata partendo dal principio di conservazione dell'energia, là gli angoli non c'entrano... come faccio ad arrivare alla formula giusta?

[mgrau]

L'angolo ce lo infili utilizzandolo per trovare la componente verticale della velocità ($v_v = v sin(theta))$, e poi usando questa nella tua formula.

Dove si tratta di propagazione degli errori, si dice che quando un valore si ottiene da grandezze note con un errore, se queste appaiono in un prodotto, come qui ($v^2$) bisogna:
dall'errore assoluto trovare quello relativo $E_r = E_a/(VM)$
sommare gli errori relativi dei fattori (qui, basta raddoppiarlo) per trovare quello globale
da questo ritornare all'errore assoluto invertendo la formula di prima
Ma in sostanza viene la stessa cosa

[Francesca.S]

Ah, quindi la formula esatta per trovare $h$ è $h=(v^2 sen^2alpha)/(2g)$ ??
Ora ti farò cascare le braccia ma... come calcolo $sen^2alpha$ ? Mai incontrato prima... faccio con la calcolatrice $sen alpha$ e poi elevo il risultato al quadrato?
(Lo so, sono un disastro... ma mi stanno mettendo fretta per fare questo esame entro maggio e non ho il tempo materiale per fare bene le cose; purtroppo questi sono i risultati... )

[axpgn]

... Faccio con la calcolatrice $sen alpha$ e poi elevo il risultato al quadrato?

Sì ...per essere precisi andrebbe scritto così $(sin(alpha))^2$

[Francesca.S]

Grazie axpgn!!
Ho provato e riprovato, ma il risultato non mi torna e non capisco perchè...
Vi scrivo come sto procedendo, sicuramente starò sbagliando da qualche parte!
Come mi suggerivi, mgrau, ho calcolato la velocità massima ($v_max=710,22$) e la velocità minima ($v_min=708,48$).
Ho la formula per trovare $h$: $h=(v^2 sen^2alpha)/(2g)$, con la quale posso trovare l'altezza massima sostituendo $v$ con $v_max$ e l'altezza minima sostituendo la $v$ con $v_min$. Facendo i calcoli trovo $h_max=21037,22$ e $h_min=20934,27$.
Giusto?
Poi facendo $h_max-h_min$ trovo l'errore su $h$, e ho come risultato $102,95$... risultato non corretto.
Dove sbaglio?!

[mgrau]

E quale dovrebbe essere il risultato corretto?

[Francesca.S]

Ho varie opzioni (è un esercizio a risposta multipla): $51,6$ - $36,4$ - $77,4$ - $194$ - $235$

[mgrau]

E' 51,6. Ti dicevo che se vuoi l'errore assoluto (valore massimo - valore minimo / 2) dovevi dividere per 2