Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda mklplo » 18/04/2017, 10:10

Salve,facendo un po di ricerche,ho trovato un problema che sembrava semplice ma che poi si è rivelato complicato e non sono riuscito a risolverlo.Se non vi reca disturbo potreste spiegarmi come risolverlo?
Il problema è questo:
"Si calcoli la lagrangiana,che descrive il moto di un corpo lungo una rampa curva(in pratica un generalizzazione del piano inclinato),la cui curva viene descritta dalle seguenti equazioni parametriche:
$ { ( x=r(t-sin(t)) ),( y=r(1-cos(t)) ):} $
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda Shackle » 18/04/2017, 11:29

Sono le equazioni parametriche della cicloide. Dovresti scrivere la lagragiana $L = T - V $ . Ora non ho tempo, comunque prova a ricavare la velocità per scrivere $T$ , e l'energia potenziale rispetto a un piano di riferimento .
Non importa quanto sia elegante una teoria, quanto sia intelligente chi la propone, o quanto famoso sia il suo nome: se è in disaccordo con l'esperienza, è sbagliata. Qui sta la Scienza.
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda mklplo » 18/04/2017, 12:08

grazie,ma credo di non aver capito
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda Casio98 » 18/04/2017, 15:23

Prima porta la cicloide nella forma $y=f(x)$ e poi ricorda che in una funzione derivabile la lunghezza di un arco infinitesimo di curva è $ds=sqrt(1+(f'(x))^2)dx$.
"Un bel problema, anche se non lo risolvi, ti fa compagnia se ci pensi ogni tanto". E. De Giorgi
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda mklplo » 18/04/2017, 16:03

ti ringrazio,questo lo sapevo ma non so come calcolare velocità e accelerazione
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda Shackle » 18/04/2017, 16:41

L'energia cinetica è data da :

$T = 1/2m(dotx^2 + doty^2)$

L'energia potenziale, rispetto a un piano di riferimento di eq. $y=0$ , è data da $V= mgy$

La lagrangiana è data da : $L = T -V$ , dove puoi esprimere sia $T$ che $V$ in funzione dell'unica coordinata generalizzata $t$ .

Tieni presente che in realtà questa tua variabile $t$ è un angolo , io lo scriverei come $\theta$ , funzione del tempo : $\theta=\theta(t)$ . Fai le derivate rispetto al tempo , e calcola $ T-V $ .
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda mklplo » 18/04/2017, 18:29

Grazie,io ho provato a esprimere tutto in funzione di $theta$ facendo così:
$ y(theta(t),t)=d/(d theta)x(theta(t),t) $
$ T=1/2m(x_t^2+x_(t theta)^2) $
$ V=mgx_theta $
$ L=T-V=m(1/2(x_t^2+x_(t theta)^2)+gx_(theta)) $
ma da qui in poi non so come proseguire

ps:c'è anche un'altra parte del problema dove mi si chiede:"Si ricavi l'equazione che permette di calcolare il tempo necessario perchè un corpo percorra questa rampa curva ",se non ti dispiace dopo avere controllato sopra potresti spiegarmi come risolvere questo problema?
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda Shackle » 18/04/2017, 21:44

Perchè complicare ? Hai sia $x(\theta)$ che $y(\theta)$ , dove ho messo $\theta (t)$ al posto della semplice $t$ delle equazioni iniziali da te scritte, per evidenziare appunto che si tratta di un angolo funzione del tempo.
Allora, si tratta di calcolare le derivate di $x$ e di $y$ rispetto a $t$ , come funzioni composte $x= x(theta(t)) $ e analoga per $y$ . Facendo queste derivate, e scrivendo l'energia cinetica come ho già detto, si ottiene che :

$ T = mr^2dottheta^2(1-costheta) $

ed essendo : $V = mgr(1-cos\theta)$

la lagrangiana è data da : $L =T-V = mr^2dottheta^2(1-costheta) - mgr(1-cos\theta)$

Per quanto riguarda il calcolo del tempo che chiedi, in genere si studia la trattazione del tempo di caduta di un grave , lungo un arco di cicloide (rovesciata, cioè con concavità verso l'alto) , e devo dirti che non è semplice . Si tratta di calcolare il tempo a partire da : $v = (ds)/(dt) \rightarrow dt = (ds)/v$ , e quindi di integrare tra due istanti di tempo dati.

Qui trovi molti articoli che ne parlano . Tra questi , ti segnalo quello di Erman Di Rienzo , che fa (o faceva) parte del nostro forum "matematicamente.it" . Ma anche altri articoli sono degni di nota. C'è il calcolo del tempo quasi dappertutto .

Una proprietà notevole della cicloide rovesciata è che , dati due punti A e B in un campo gravitazionale uniforme, la traiettoria passante per A e B, percorsa da un grave in caduta libera, alla quale corrisponde il minore tempo per fare il percorso , non è il segmento di retta che unisce A a B , ma è l'arco di cicloide passante per i due punti .
Evito di copiare e incollare , è tutto scritto in queste dispense.
Buona lettura !
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda mklplo » 19/04/2017, 12:53

Ti ringrazio,ma non ho ben capito come,considerando $x$ e $y$ funzioni di $theta(t)$ si ottenga $T=mr^2dot(theta)^2(1-cos(theta))$,se non ti dispiace potresti spiegarmi meglio questo passaggio $ T=pisqrt(r/g) $

Comunque facendo altre ricerche per quanto riguarda lo studio del tempo ho trovato qualcosa circa il problema della curva tautocrona dove usciva questa formula:
$ T=pisqrt(r/g) $
nel seguente sito web:https://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve
secondo te è questa la soluzione al problema sopracitato?
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Re: Generalizzazione del piano inclinato

Messaggioda Shackle » 19/04/2017, 14:55

Parti dalle equazioni parametriche :

$ x=r(\theta-sin\theta)$
$ y=r(1-cos\theta ) $

in cui $\theta = \theta(t)$

Allora $ v_x = dotx= (dx)/(dt) = (dx)/(d\theta) (d\theta)/(dt) = rdot\theta(1-cos\theta) $
Analogamente : $ v_y =doty = (dy)/(d\theta) (d\theta)/(dt) = rdot\thetasen\theta $

Quindi : $ T = 1/2mv^2 = 1/2m(dotx^2 +doty^2) = ......= mr^2dot\theta^2(1-cos\theta) $

Ti ho dato i link a molti siti che parlano della cicloide , il problema al quale ho accennato è quello della "brachistocrona" = curva di minor tempo . Il pendolo cicloidale è isocrono anche per ampie oscillazioni, la curva è anche tautocrona .
Ha un sacco di proprietà , la cicloide .
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