Generalizzazione del piano inclinato

Salve,facendo un po di ricerche,ho trovato un problema che sembrava semplice ma che poi si è rivelato complicato e non sono riuscito a risolverlo.Se non vi reca disturbo potreste spiegarmi come risolverlo?
Il problema è questo:
"Si calcoli la lagrangiana,che descrive il moto di un corpo lungo una rampa curva(in pratica un generalizzazione del piano inclinato),la cui curva viene descritta dalle seguenti equazioni parametriche:
$ { ( x=r(t-sin(t)) ),( y=r(1-cos(t)) ):} $

Sono le equazioni parametriche della cicloide. Dovresti scrivere la lagragiana $L = T - V $ . Ora non ho tempo, comunque prova a ricavare la velocità per scrivere $T$ , e l'energia potenziale rispetto a un piano di riferimento .

grazie,ma credo di non aver capito

Prima porta la cicloide nella forma $y=f(x)$ e poi ricorda che in una funzione derivabile la lunghezza di un arco infinitesimo di curva è $ds=sqrt(1+(f'(x))^2)dx$.

ti ringrazio,questo lo sapevo ma non so come calcolare velocità e accelerazione

L'energia cinetica è data da :

$T = 1/2m(dotx^2 + doty^2)$

L'energia potenziale, rispetto a un piano di riferimento di eq. $y=0$ , è data da $V= mgy$

La lagrangiana è data da : $L = T -V$ , dove puoi esprimere sia $T$ che $V$ in funzione dell'unica coordinata generalizzata $t$ .

Tieni presente che in realtà questa tua variabile $t$ è un angolo , io lo scriverei come $\theta$ , funzione del tempo : $\theta=\theta(t)$ . Fai le derivate rispetto al tempo , e calcola $ T-V $ .

Grazie,io ho provato a esprimere tutto in funzione di $theta$ facendo così:
$ y(theta(t),t)=d/(d theta)x(theta(t),t) $
$ T=1/2m(x_t^2+x_(t theta)^2) $
$ V=mgx_theta $
$ L=T-V=m(1/2(x_t^2+x_(t theta)^2)+gx_(theta)) $
ma da qui in poi non so come proseguire

ps:c'è anche un'altra parte del problema dove mi si chiede:"Si ricavi l'equazione che permette di calcolare il tempo necessario perchè un corpo percorra questa rampa curva ",se non ti dispiace dopo avere controllato sopra potresti spiegarmi come risolvere questo problema?

Perchè complicare ? Hai sia $x(\theta)$ che $y(\theta)$ , dove ho messo $\theta (t)$ al posto della semplice $t$ delle equazioni iniziali da te scritte, per evidenziare appunto che si tratta di un angolo funzione del tempo.
Allora, si tratta di calcolare le derivate di $x$ e di $y$ rispetto a $t$ , come funzioni composte $x= x(theta(t)) $ e analoga per $y$ . Facendo queste derivate, e scrivendo l'energia cinetica come ho già detto, si ottiene che :

$ T = mr^2dottheta^2(1-costheta) $

ed essendo : $V = mgr(1-cos\theta)$

la lagrangiana è data da : $L =T-V = mr^2dottheta^2(1-costheta) - mgr(1-cos\theta)$

Per quanto riguarda il calcolo del tempo che chiedi, in genere si studia la trattazione del tempo di caduta di un grave , lungo un arco di cicloide (rovesciata, cioè con concavità verso l'alto) , e devo dirti che non è semplice . Si tratta di calcolare il tempo a partire da : $v = (ds)/(dt) \rightarrow dt = (ds)/v$ , e quindi di integrare tra due istanti di tempo dati.

Qui trovi molti articoli che ne parlano . Tra questi , ti segnalo quello di Erman Di Rienzo , che fa (o faceva) parte del nostro forum "matematicamente.it" . Ma anche altri articoli sono degni di nota. C'è il calcolo del tempo quasi dappertutto .

Una proprietà notevole della cicloide rovesciata è che , dati due punti A e B in un campo gravitazionale uniforme, la traiettoria passante per A e B, percorsa da un grave in caduta libera, alla quale corrisponde il minore tempo per fare il percorso , non è il segmento di retta che unisce A a B , ma è l'arco di cicloide passante per i due punti .
Evito di copiare e incollare , è tutto scritto in queste dispense.
Buona lettura !

Ti ringrazio,ma non ho ben capito come,considerando $x$ e $y$ funzioni di $theta(t)$ si ottenga $T=mr^2dot(theta)^2(1-cos(theta))$,se non ti dispiace potresti spiegarmi meglio questo passaggio $ T=pisqrt(r/g) $

Comunque facendo altre ricerche per quanto riguarda lo studio del tempo ho trovato qualcosa circa il problema della curva tautocrona dove usciva questa formula:
$ T=pisqrt(r/g) $
nel seguente sito web:https://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve
secondo te è questa la soluzione al problema sopracitato?

Parti dalle equazioni parametriche :

$ x=r(\theta-sin\theta)$
$ y=r(1-cos\theta ) $

in cui $\theta = \theta(t)$

Allora $ v_x = dotx= (dx)/(dt) = (dx)/(d\theta) (d\theta)/(dt) = rdot\theta(1-cos\theta) $
Analogamente : $ v_y =doty = (dy)/(d\theta) (d\theta)/(dt) = rdot\thetasen\theta $

Quindi : $ T = 1/2mv^2 = 1/2m(dotx^2 +doty^2) = ......= mr^2dot\theta^2(1-cos\theta) $

Ti ho dato i link a molti siti che parlano della cicloide , il problema al quale ho accennato è quello della "brachistocrona" = curva di minor tempo . Il pendolo cicloidale è isocrono anche per ampie oscillazioni, la curva è anche tautocrona .
Ha un sacco di proprietà , la cicloide .