Provo a darti una mano. Ti riporto i risultati a cui sono arrivato, sperando che siano giusti. Ti accludo un disegno che magari ti aiuta a capire certi passaggi. Chiamo B il punto in basso, C il centro.
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1) Trovare k
Come hai fatto tu. Visto che la massa arriva in D ferma, il lavoro gravitazionale $mgR $ è = al lavoro elastico $1/2kx^2$, dove la compressione della molla è $x = 2R - BD = 2R - Rsqrt(2) = R(2 - sqrt(2))$, per cui, dopo qualche conto, $mgR = kR^2(3 - 2sqrt(2))$, da cui $k = frac{mg}{R(3 - 2 sqrt(2))}$
2) Trovare l'accelerazione della massa in funzione di $theta$
Interessano solo le forze tangenziali, quelle dirette come il raggio sono compensate dalla reazione della guida
Le forze sono: la spinta della molla e il peso.
La spinta della molla è $k Delta l$ dove $Delta l = 2R - BP$ e $BP = 2R cos theta$, quindi $F = 2kR(1 - cos theta)$
La componente tangenziale si vede essere $F sin theta$ quindi $F_t = 2kR(1 - cos theta) sin theta$
La componente tangenziale del peso si esprime facilmente in termini dell'angolo al centro ACP, che vale $2theta$,
ed è $mg cos (90 - 2 theta) = mg sin 2 theta$
Ora avendo le due forze tangenziali, quella della molla in su e del peso in giù, le sottrai e puoi trovare l'accelerazione, e, con un po' di fortuna, il valore massimo.
3) Per la forza esercitata dalla guida in D, si vede che questa uguaglia la componente radiale della forza della molla. che in quel punto coincide con quella tangenziale. Il peso non ha componenti radiali.
Mi fermo qui. Spero di non aver fatto troppi sbagli