Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda siddy98 » 20/04/2017, 16:47

Io so che, dato un campo di forze $F$, il lavoro compiuto dalla forza lungo una certa traiettoria $\gamma$ è definito come l'integrale di linea di tale campo vettoriale lungo la curva $\gamma$.

Tuttavia, questa definizione ha senso nel momento in cui la forza è esprimibile come una funzione della posizione, cosa che accade, ad esempio, per la forza di gravita o quella elastica. A differenza di queste, l'attrito non dipende unicamente dalla posizione: una stessa massa $m$ potrebbe infatti risentire, in due tempi diversi ma nello stesso punto, di due forze di attrito diverse, a seconda della traiettoria che percorre.

Ma questo implica che non posso definire una funzione $F:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb[R^3}$ che a ogni punto dello spazio associa la forza corrispondente, perché per uno stesso punto si potrebbero avere potenzialmente più valori della forza d'attrito, contraddicendo la definizione stessa di funzione.

Com'è possibile, dunque, definire il lavoro di una forza di attrito? Dov'è che sbaglio?
siddy98
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda mgrau » 20/04/2017, 17:11

siddy98 ha scritto:Io so che, dato un campo di forze $F$, il lavoro compiuto dalla forza lungo una certa traiettoria $\gamma$ è definito come l'integrale di linea di tale campo vettoriale lungo la curva $\gamma$.

Tuttavia, questa definizione ha senso nel momento in cui la forza è esprimibile come una funzione della posizione

Ma chi te l'ha detto? Per esempio, se io sollevo un sasso da terra, si può definire il lavoro fatto dalla gravità (perchè è un campo di forze), ma non si può fare con il lavoro fatto da me, che non sono un campo vettoriale?
mgrau
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda siddy98 » 20/04/2017, 17:21

mgrau ha scritto:Ma chi te l'ha detto?


Tutti i libri di fisica che ho consultato definiscono il lavoro come l'integrale di linea di un certo campo vettoriale (di forze).
Quale sarebbe, per te, la definizione di lavoro se non questa?
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda mgrau » 20/04/2017, 18:08

Ti ripropongo il mio caso: se sollevo un sasso, come definiamo il lavoro compiuto (da me)?
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda siddy98 » 20/04/2017, 18:25

mgrau ha scritto:Ti ripropongo il mio caso: se sollevo un sasso, come definiamo il lavoro compiuto (da me)?


Dipende.

Se portassi il sasso costantemente verso l'alto, ovvero se ti opponessi sempre alla forza peso, e supponendo di lavorare in una dimensione, potremmo associare a ogni punto di un asse scelto opportunamente la forza che eserciti sul sasso. Avremmo quindi una funzione $f(h)$ che all'altezza del sasso fa corrispondere il valore della forza che stai esercitando, e dunque un campo di forze (unidimensionale). In questo caso l'integrale di linea (ossia il lavoro) sarebbe nient'altro che l'integrale di Riemann di $f$.

La cosa cambierebbe se, per esempio, decidessi di portare prima il sasso in alto e poi rilanciarlo verso il basso, aggiungendo un contributo alla forza peso. In tal caso a una stessa altezza $h$ corrisponderebbero due possibili valori della forza che eserciti. Quindi niente funzione $f$ e niente integrale.

Similmente potresti prendere in mano il sasso e fargli compiere una traiettoria (nello spazio) a piacimento, magari passando più volte per lo stesso punto e applicando ogni volta una forza diversa.

Come lo definisci il lavoro in questi casi?
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda mgrau » 20/04/2017, 18:37

Vedo che ami complicare gli affari semplici
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda siddy98 » 20/04/2017, 18:41

mgrau ha scritto:Vedo che ami complicare gli affari semplici


Non lo faccio apposta, giuro :lol:
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda siddy98 » 23/04/2017, 23:07

L'unica cosa che mi viene in mente sarebbe definire una funzione $F:(x,y,z,t) \in \mathbb{R^4}\rightarrow \mathbb{R^3}$, che ha come variabili le coordinate del punto e il tempo, e calcolare l'integrale $\int_{a}^{b} F(\gamma (t), t) \cdot \gamma '(t) dt$. Tuttavia in questo caso $F$ non sarebbe un campo...che ne dite?
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda mathbells » 25/04/2017, 13:00

Per poter calcolare l'integrale di linea non è necessario che sia possibile definire in generale il campo di forze come funzione della posizione. È sufficiente che tu conosca il vettore forza in ogni punto della specifica linea lungo la quale vuoi calcolare il lavoro. Se conosci coefficiente d'attrito e forza premente in ogni punto della traiettoria puoi fare tranquillamente il calcolo (la forza di attrito dinamico è sempre tangente alla traiettoria e opposta al verso di moto).
Teoria della Pizza: (F=farina; A=acqua; L=lievito; S=sale)
\(\displaystyle F=p\frac{\pi}{4}nd^2h\,\,;\quad A=\frac{1}{2}F\,\,;\quad L=\frac{1}{20}F\,\,;\quad S=\frac{1}{40}F\)
p=0,433 $g$/$cm^3$ = costante universale della pizza; n=numero di pizze; d=diametro; h=spessore.
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Re: Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?

Messaggioda siddy98 » 25/04/2017, 13:56

mathbells ha scritto:È sufficiente che tu conosca il vettore forza in ogni punto della specifica linea lungo la quale vuoi calcolare il lavoro.


Appunto, nello stesso punto della specifica linea l'attrito potrebbe essere diverso in due istanti diversi! L'unica cosa che mi viene in mente (vedi il mio ultimo commento) è considerare la forza in funzione del tempo, $F(t)=-c\frac{\gamma '(t)}{||\gamma '(t)||}$ (dove $c$ è il prodotto tra il modulo della forza normale e il coefficiente di attrito), e poi calcolare l'integrale $\int_{a}^{b} F(t) \cdot \gamma '(t) dt$. Ma a questo punto $F$ non è più un campo, e quell'integrale non è un integrale di linea...
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