Ti propongo due vie:
1 ) Se (figura) guardi l'andamento della velocità nel tempo, si tratta di una retta, che passa per l'origine.
Sappiamo che, se la velocità è costante, lo spazio percorso è dato da $V*t$; ma qui non è costante, allora possiamo considerare la velocità media, $V_M = (0 + V_f)/2$, e trovare lo spazio come $S = V_m * t_f$, ma nel moto accelerato, con partenza da fermo, $V_f = a*t_f$ da cui, sostituendo, troviamo $S = 1/2 a * t_f^2$
2) In un grafico v/t, un rettangolo, basato sull'asse t, come quello in figura con lati $t_f$ (base) e $V_f$ (altezza), rappresenta, con la sua area, lo spazio percorso in un certo tempo ad una certa velocità costante.
Allora, suddividendo il triangolo tratteggiato in tanti rettangolini verticali, si esprime lo spazio percorso come somma degli spazi percorsi in tanti brevi intervalli di tempo, approssimando come costante la velocità in ciascuno di essi (è quel che si fa per introdurre il concetto di integrale). I rettangolini si possono immaginare stretti quanto si vuole, e alla fine ci si convince che lo spazio percorso complessivamente è rappresentato dall'area della figura tratteggiata, cioè ancora $1/2 * v_f * t_f$ o $1/2 a t_f^2$
Nota che questo procedimento lo puoi applicare sempre, anche nel caso che la retta non passi per l'origine, o vada in discesa (moto decelerato), o ti interessi un intervallo di tempo che non inizia da zero
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