Equazione del calore con delta di Dirac

[lukath]

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto con questo problema... si chiede di risolvere, per $t>0$, l'equazione del calore non omogenea:

$u_t - u_{x x}=\delta(t-1)\delta(x-1)$

con $x>0$ e le condizioni $u_x (t,0)=0$ e

$u(0,x)={(sin^3 (x) if x<=\pi) ,(0 if x>=\pi):}$

Io ho trovato che, se $S(t,x)=1/(sqrt(4\pi t)) e^((x-1)^2 / (4t))$, allora una soluzione dell'equazione (che soddisfa la condizione di bordo di Neumann indicata), è

$R(t,x)={(S(t-1,x-1) if t>1) ,(0 if t<1):}$ ma questa non soddisfa la condizione iniziale per $t=0$. Come posso fare per trovare una soluzione? La funzione $R(t,x)$ può essere d'aiuto?