Problemi su energia cinetica relativistica

[Simjap98]

Mi sono trovato davanti questi due problemi sull'energia cinetica relativistica e diciamo che ho qualche difficoltà...

1) Un mesone $\pi ^0$, particella instabile la cui massa a riposo è pari a $2,40*10^(-28) kg$, si muove con velocità di $0,850c$.
a) Calcola la sua energia cinetica.
b) Calcola il valore di energia cinetica, secondo la meccanica classica.
c) Quanta energia si sviluppa da tale mesone se decade in radiazione elettromagnetica?

a) $K=(\gamma -1) m_0 c^2 = 4,1 * 10^(-11) J$
b) $K=1/2 m v^2 = 7,8 * 10^(-12) J$
c) Non ho la più pallida idea di come si faccia a calcolare quanta energia elettromagnetica si sviluppa se il mesone decade...

2) Un potente acceleratore è in grado di accelerare protoni ($m_0=1,67*10^(-27) kg$) fino a energie cinetiche pari a $1,57*10^(-17) J$.
Di questo problema l'esercizio chiede di calcolare varie cose, ma non ho problemi nel capire cosa devo fare solo che ho un piccolo problema nel calcolo della velocità a partire dall'energia cinetica...
$K=(\gamma -1)* m_0 c^2 \to \gamma = K/(m_0 c^2) +1 \to \gamma=(1,57*10^(-17))/(1,67*10^(-27) * 9 * 10^(16)) +1 \to \gamma= 0,104*10^(-6) + 1$... ora l'addendo $0,104*10^(-6)$ è talmente piccolo che la calcolatrice non lo considera e quindi fa risultare $\gamma = 1$, ma se $\gamma = 1$ allora $v=0$ il che non ha molto senso... qualcuno mi può aiutare?

Grazie mille!

[Casio98]

Per il punto c) del primo, poichè il testo non ci dice altro, possiamo dire che per la conservazione dell'energia,l'energia del pione si trasferisce completamente in quella dei fotoni.
Per l'ultimo punto, non so cosa ti chiede il problema ma cerca ti portare tutto in fondo e sostituire i numeri solo alla fine. Altrimenti se il problema permane, cerca di usare le leggi della fisica classica, che infatti sono approssimazioni per $\gamma~~1$.

[Shackle]

c) Quanta energia si sviluppa da tale mesone se decade in radiazione elettromagnetica?
...............................
c) Non ho la più pallida idea di come si faccia a calcolare quanta energia elettromagnetica si sviluppa se il mesone decade...

Posto a questa maniera, il quesito non mi sembra corretto.

Di solito, in letteratura si trova trattato il caso del decadimento del mesone $\pi^0$ in due fotoni :

$\pi^0 \rightarrow \gamma\gamma$

sperimentalmente risulta che nel $ 99%$ dei casi si verifica questo decadimento . LE due particelle finali sono dunque due fotoni uguali. Nel riferimento del centro di massa , che anzi è preferibile chiamare "centro della quantità di moto totale" ( in meccanica relativistica si dovrebbe sempre dire cosí , e mai come in questo caso è giusto,visto che i fotoni hanno massa nulla) risulta perciò che i due fotoni hanno energie uguali :

$E_1^(\ast) = E_2^(\ast) = (m_(pi_0)c^2)/2 $

e quantità di moto opposte :

$vecp_1 ^(\ast) = -vecp_2^(\ast) $

L'asterisco sta ad indicare il riferimento del centro delle q.d.m.

Volendo , si può passare al riferimento del laboratorio , nel quale il mesone ha inizialmente 4-impulso dato : $barP = (E/c, vecp) $ la cui norma è l'invariante $m_(pi_0) c $ , cioè la massa del mesone, a meno di $c$ .

Puoi trovare tutta la trattazione, incluso il calcolo dell'angolo tra i due vettori q.d.m. risultanti, in questa dispensa di R. Paramatti . Le cose che ho scritto le trovi al paragrafo 10.1 , pag 22. Però devi leggere pure la roba precedente .

Per quanto riguarda il secondo punto , sei sicuro dei numeri ? Mi sembra che $\gamma$ sia piccolissimo, il che è assurdo, appunto. Ad ogni modo , prova cosí :

$\beta^2 = (\gamma^2 -1 )/\gamma^2 $

ma : $\gamma^2 = (1 + K/(mc^2))^2 = \approx 1 + (2K)/(mc^2) \rightarrow \gamma^2 -1 = (2K)/(mc^2) $ ( trascurando il quadrato di $K/(mc^2)$ ) .

E quindi : $\beta^2 \approx (2K)/(mc^2 +K) $ .

Ma non so se serva molto . Esprimendo le energie in $MeV$ , risulta : $K = 98,1*10^(-6) MeV$ , e inoltre, per il protone :

$mc^2 = 938 MeV$

Secondo me , i numeri non sono giusti.