Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda petrol89 » 25/04/2017, 19:32

Ad un esame è stato dato il seguente quesito:
Si consideri un disco omogeneo di raggio R e massa M. Si considera il riferimento solidale (O, ei ) con O nel centro del disco e asse 3 ortogonale al disco e il piano 1-2 quello che contiene il disco. Si considera un secondo riferimento solidale (O, ei ' ) ottenuto ruotando il primo attorno all'asse 1 di un angolo di ampiezza alfa tra 0 e 90°.
Poi chiedeva (dopo aver chiesto le matrici d'inerzia nei due riferimenti, che ho calcolato senza difficoltà) il momento angolare L e l'energia cinetica Ec del corpo posto in rotazione uniforme attorno all'asse 3 del riferimento (O, ei) e il momento angolare L ed energia cinetica Ec del corpo posto in rotazione uniforme attorno all'asse 3 del riferimento (O, ei ' ).

Ora, ok per il momento angolare L rispetto a O, e3 e la relativa energia cinetica, io ho posto L= I * omega con omega un vettore parallelo all'asse 3, e l'energia cinetica Ec= 1/2 I omega ^2.
Perchè l'asse 3 è perpendicolare al disco.

L'ultima domanda non la capisco, o meglio cosa si intende per "corpo in rotazione attorno a e3 ' ?
L'asse e3 ' è inclinato di alfa rispetto ad e3 e non è asse principale.
Ho pensato che "posto in rotazione attorno a e3 ' volesse dire e3 ' perpendicolare al disco e quindi il disco è inclinato di alfa, e viene L = I rispetto a e3' * omega con omega stavolta un vettore parallelo a e3' procedendo come la risposta precedente.
Ma sinceramente mi sembra troppo facile, possibile che sia così?
O significa omega parallelo a e3 e bisogna calcolare L rispetto all'altro asse e3' ?
Ma le rotazioni non hanno sempre l'asse perpendicolare?

Voi come lo interpretate? Come si può procedere?
Grazie a chiunque volesse aiutarmi.
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Re: Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda Shackle » 28/04/2017, 23:00

Nel secondo caso , l'asse $3'$ , ovvero $z'$ , è inclinato di $alpha$ rispetto all'asse $3= z$ . Ti trovi in una configurazione come questa :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Immagine


Devi immaginare che l'asse $z'$ sia saldato nell'origine al disco , sicché questo possa ruotare attorno all'asse $z'$ stesso , con una certa velocità angolare $omega'$ .
Ma c'è una differenza sostanziale , tra la rotazione attorno all'asse $z$ , che è un asse centrale di inerzia, e la rotazione attorno all'asse $z'$ , che è baricentrico ma non è centrale di inerzia .
Mentre nel primo caso la matrice di inerzia è diagonale , e i vettori $vec\omega$ e $vecL$ sono paralleli, nel secondo caso la matrice di inerzia , calcolata rispetto alla terna con apice, non è diagonale, e i due vettori $vec\omega'$ e $vecL'$ non sono più paralleli . Tra i due vettori sussiste sempre la relazione :

$vecL' = [I'] vec\omega' $

dove devi leggere il secondo membro come una moltiplicazione della matrice $[I']$ per il vettore colonna $vec\omega'$ , per ottenere il vettore colonna $vecL'$ . Visto che hai calcolato la matrice di inerzia rispetto alla terna con apice, non dovrebbe essere difficile eseguire questo prodotto , e neanche calcolare l'energia cinetica.
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Re: Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda petrol89 » 29/04/2017, 13:03

Grazie infinite per la risposta, veramente preziosa e chiarissima.
Però non capisco ancora una cosa e cioè : la velocità angolare omega, almeno per come sapevo io, non è un vettore che ha la direzione perpendicolare al piano su cui avviene la rotazione e quindi in questo caso al disco?
Invece se considero omega parallelo a e3 ' del nuovo riferimento , tale vettore non risulta perpendicolare al piano della rotazione e quindi al disco.
Per essere perpendicolare dovrei inclinare il disco di un angolo alfa verso l'alto, ma così facendo anche il nuovo riferimento primato diverrebbe principale d'inerzia.
Cerco di spiegarmi meglio : il parallelismo asse di rotazione-vettore omega, non comporta la perpendicolarità tra asse di rotazione e piano della rotazione in questo caso coincidente col piano su cui ruota il disco ?
Dove sbaglio ?

Grazie di nuovo per l'aiuto.
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Re: Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda Shackle » 29/04/2017, 14:31

Lascio stare il caso della rotazione di un corpo rigido libero, perché la faccenda è abbastanza lunga e complessa.

Considero quindi che il corpo abbia un asse di rotazione assegnato "fisso" , come è l'asse $z' $ di versore $vece'$ del tuo esercizio. È un asse di rotazione "fisso" , ripeto, il che significa che , se fosse un asse materiale, dovrebbe avere ai suoi estremi dei cuscinetti entro quali ruota, ancorati ad un robusto telaio ( essi forniscono anche la forza necessaria per non farlo cadere, se consideriamo il rotore in un campo gravitazionale ).

Ti chiedo : per quale motivo questo asse dovrebbe necessariamente essere perpendicolare al disco ? Lo hanno saldato male, è "sbilenco" rispetto al disco! È quindi un asse qualsiasi. Allora, sicuramente il vettore $vec\omega$ lo posso mettere su questo asse, e i punti del disco si muovono di moto circolare su piani diversi, tutti ortogonali all'asse , ma che non sono paralleli al piano del disco . In altri termini, il moto è piano perché i vettori velocità $vecv = vec\omega\timesvecR$ sono tutti paralleli ad uno stesso piano , ma non si tratta del piano del disco. Questo asse , quindi, passa per il baricentro del disco, ma non è principale di inerzia . Allora succede che il vettore $vecL$ , momento angolare rispetto ad $O$ , non è parallelo ad $vec\omega$, come abbiamo già visto, ma ruota anche lui rispetto all'asse .
Ma per far variare il vettore momento angolare , come ci dice la 2º eq. cardinale della dinamica, ci vuole un momento di forze esterne. E questo significa che nei cuscinetti nascono delle forze il cui momento causa la variazione di $vecL$ :

$vecM_e = (d\vecL)/(dt)$

se l'asse di rotazione fosse un asse di simmetria del disco, ( non è solo quello perpendicolare, ma anche tutti gli assi paralleli al piano del disco e passanti per il CM sono di simmetria) il vettore momento angolare rimarrebbe parallelo ad $vec\omega$ , e non ci sarebbero sollecitazioni nei cuscinetti .
In effetti, questo è lo scopo che si persegue nel mondo della tecnica : fare in modo che , per una ruota di automobile o un rotore di turbina o insomma qualunque corpo rotante, l'asse di rotazione sia centrale di inerzia . Questo è quello che fa il gommista quando esegue l'equilibratura delle gomme dell'auto. Equilibratura "statica" significa che l'asse deve essere baricentrico; equilibratura dinamica significa che deve essere anche principale di inerzia.Solo cosí non nascono sollecitazioni nei cuscinetti.
Pensa quale problema sarebbe se , per una turbina a gas di un aereo, che fa anche 20000 e piu giri al minuto, il rotore non fosse perfettamente equilibrato ! È una operazione delicatissima. Il minimo squilibrio, superiore ad un certo limite tollerabile, causerebbe sollecitazioni inaccettabili ai supporti .

Quindi, la rotazione attorno ad assi non principali di inerzia va bene negli esercizi di fisica . Ma nella pratica è da rifuggire come la peste!
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Re: Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda petrol89 » 30/04/2017, 14:36

Quindi, se capisco bene ( ma può essere che dica delle scemenze), questa rogna di asse non principale comporta che il disco si metta a ruotare su un piano o su più piani perpendicolari al nuovo asse e3 ' , quindi non sul piano orizzontale come era nella rotazione intorno all'asse principale e3 del precedente riferimento; cioè se il disco era orizzontale, in qualche modo, ruotando intorno al nuovo asse è come se si alzasse inclinandosi di alfa per ruotare perpendicolarmente o addirittura spostandosi lungo l'asse per ruotare sempre su piani perpendicolari a e3 ' .
In ogni caso, a prescindere dall'aver capito bene o no, grazie di cuore per avermi fatto luce su questo in maniera così dettagliata e complimenti per la tua preparazione.
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Re: Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda Vulplasir » 30/04/2017, 16:21

No, il disco non si inclina, guarda questa immagine, l'asse nero è l'asse di rotazione, il disco è quello rosso, visto di profilo inclinato rispetto all'asse, la velocitò angolare $omega$ è in marrone ed è diretta parallelamente all'asse di rotazione, mentre il momento angolare $K$ è blu e ha direzione diversa dalla velocità angolare (nel disegno ho messo a caso la direzione del momento angolare, ma basta che non sia coincidente con $omega$), ogni punto del disco compie delle traiettorie circolari piane attorno all'asse, nell'immagine sono le traiettoria in verde.
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Re: Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda petrol89 » 30/04/2017, 20:25

Caspiterina ! Avevo detto una bella scemenza!
Adesso ho capito bene (c'è voluto un po' di tempo, come si dice:"meglio tardi che mai").

Un enorme grazie a te Vulplasir e ovviamente anche a Shackle che è intervenuto prima.
Senza di voi sarei rimasto al buio su questo esercizio.
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Re: Momento angolare e asse di rotazione inclinato.

Messaggioda Shackle » 30/04/2017, 21:53

Petrol89
solo ora ho visto la tua prima risposta e il disegno esplicativo di Vulplasir , che chiarisce qualitativamente la situazione. Si , non avevi ben compreso quello che avevo scritto, ma ora ti è chiaro , penso.
Il vettore momento angolare, che io ho chiamato $vecL$ e nel disegno è indicato come $vecK$ , si può determinare con esattezza , facendo il prodotto di matrici che ho detto in precedenza. Si può dimostrare che la direzione di $vecK$ non coincide nè con la direzione di $\omega$ nè con l'asse centrale di inerzia normale al piano del disco. Il vettore $vecK$ ruota con la stessa velocità angolare del disco, descrivendo una superficie conica. Ma avrai modo di approfondire questi problemi in altri corsi .

Ciao, buon studio.
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