Simboli di Christoffel per tensore

Messaggioda GiuseppeTalia » 23/05/2017, 16:43

Salve, dovrei calcolare dei simboli di Christoffel per determinati indici ma non avendoli mai calcolati vorrei capire se la soluzione alla quale arrivo è corretta.

La foemula dalla quale parto è la seguente

$ Gamma^ alpha beta gamma= g^(alpha s)*((∂g_(gamma s))/(∂x^beta)+(∂g_(s beta))/(∂x^gamma)-(∂g_(beta gamma))/(∂x^s)) $

Nella definizione beta e gamma sono pedici ma non sono riuscito a metterli avendo già messo alfa Come apice, scusatemi.

Le componenti sono:
$ g_00= -a^2 (eta ) $
$ g_11= a^2 (eta ) $
$ g_22= a^2 (eta )*sin^2chi $
$ g_33= a^2 (eta )*sin^2chi *sin^2vartheta $

Le componenti fuori la diagonale del tensore sono nulle.
Consideriamo anche
$ x^0=eta $
$ x^1=chi $
$ x^2 =theta $
$ x^3=varphi $

Mi trovo a dover calcolare (consideate sempre il secondo e terzo numero del gamma come pedici perché non so metterli)

$ Gamma^ alpha beta gamma= g^(alpha s)*((∂g_(gamma s))/(∂x^beta)+(∂g_(s beta))/(∂x^gamma)-(∂g_(beta gamma))/(∂x^s)) $
$ Gamma^ 1 13= g^(1 s)*((∂g_(3 s))/(∂x^1)+(∂g_(s 1))/(∂x^3)-(∂g_(1 3))/(∂x^s)) $

Ponendo s= alfa=1 mi esce

$ Gamma^ 1 13= g^(1 1)*((∂g_(31))/(∂x^1)+(∂g_(1 1))/(∂x^3)-(∂g_(1 3))/(∂x^1)) $

Ora il primo e il terzo g in parentesi sono fuori dalla D quindi sono nulli. Mi rimane da calcolare la derivata parziale di g11 rispetto da x3. Ma $g_11$ non dipende da $varphi $ quindi va a 0. Il gamma vale dunque 0. Ho effettuato un ragionamento corretto? Stessa cosa mi accade per $Gamma^1 23$. Mi va anche questo a zero. Vi risulta?
GiuseppeTalia
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Re: Simboli di Christoffel per tensore

Messaggioda Shackle » 23/05/2017, 21:50

Ciao .
GiuseppeTalia ha scritto:Salve, dovrei calcolare dei simboli di Christoffel per determinati indici ma non avendoli mai calcolati vorrei capire se la soluzione alla quale arrivo è corretta.

La foemula dalla quale parto è la seguente

$ Gamma^ alpha beta gamma= g^(alpha s)*((∂g_(gamma s))/(∂x^beta)+(∂g_(s beta))/(∂x^gamma)-(∂g_(beta gamma))/(∂x^s)) $

Nella definizione beta e gamma sono pedici ma non sono riuscito a metterli avendo già messo alfa Come apice, scusatemi.


Se vuoi scrivere $beta gamma$ come pedici, dopo aver scritto "Gamma" devi dapprima digitare "_(beta gamma) " (trattino basso più (beta gamma) in parentesi tonda)" ; dopo aggiungi "^alpha" per l'indice superiore. Quindi viene fuori : $Gamma_(beta gamma)^alpha $ , e sei a posto.


Le componenti sono:
$ g_00= -a^2 (eta ) $
$ g_11= a^2 (eta ) $
$ g_22= a^2 (eta )*sin^2chi $
$ g_33= a^2 (eta )*sin^2chi *sin^2vartheta $

Le componenti fuori la diagonale del tensore sono nulle.
Consideriamo anche
$ x^0=eta $
$ x^1=chi $
$ x^2 =theta $
$ x^3=varphi $


La metrica data è diagonale, quindi giustamente le componenti fuori diagonale sono nulle. Le componenti controvarianti del tensore metrico si trovano, in questo caso (come sai), semplicemente facendo l'inverso dalla corrispondente componente covariante di uguali indici; cioè :

$g^(alphaalpha) = 1/g_(alphaalpha) $ , per tutti e quattro i valori di $alpha$ ( no sommatoria sottintesa, qui!) .

Le componenti sono funzioni di $x^0,x^1,x^2$ , secondo le funzioni da te scritte. Non sono funzioni di $x^3$ , poiché $\varphi$ non compare .

Mi trovo a dover calcolare (consideate sempre il secondo e terzo numero del gamma come pedici perché non so metterli)

$ Gamma^ alpha beta gamma= g^(alpha s)*((∂g_(gamma s))/(∂x^beta)+(∂g_(s beta))/(∂x^gamma)-(∂g_(beta gamma))/(∂x^s)) $
$ Gamma^ 1 13= g^(1 s)*((∂g_(3 s))/(∂x^1)+(∂g_(s 1))/(∂x^3)-(∂g_(1 3))/(∂x^s)) $


Nota che hai mancato il fattore $1/2$ al secondo membro. Ricordati di aggiungerlo.

Ponendo s= alfa=1 mi esce

$ Gamma^ 1 13= g^(1 1)*((∂g_(31))/(∂x^1)+(∂g_(1 1))/(∂x^3)-(∂g_(1 3))/(∂x^1)) $

Ora il primo e il terzo g in parentesi sono fuori dalla D quindi sono nulli. Mi rimane da calcolare la derivata parziale di g11 rispetto da x3. Ma $ g_11 $ non dipende da $ varphi $ quindi va a 0. Il gamma vale dunque 0. Ho effettuato un ragionamento corretto? Stessa cosa mi accade per $ Gamma^1 23 $. Mi va anche questo a zero. Vi risulta?


Il ragionamento è giusto . Ti conviene calcolare dapprima le derivate parziali dei 4 coefficienti della metrica.
Ricordati che devi fare il calcolo dei simboli di Christoffel per 4 valori di $alpha$ . A titolo di esempio , ho fatto i calcoli per il valore $alpha=0$ e $beta=0$, e mi risulta diverso da zero soltanto :

$Gamma_(00)^0 = 1/2 g^(00)*(\partial g_(00))/(\partialx^0) $

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Immagine


Gli altri tre sono nulli. Naturalmente , per $alpha = 0 $ , ci sono poi da considerare gli altri tre valori di $beta = 1,2,3$ , e per ciascuno di questi i corrispondenti 4 valori di $gamma$ .
E cosí via , per gli altri valori di $alpha$ . Molti simboli si annullano, e quelli con indici bassi simmetrici sono uguali . Quindi il lavoro a un certo punto si semplifica molto. Non devi calcolare 64 coefficienti diversi.
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Re: Simboli di Christoffel per tensore

Messaggioda GiuseppeTalia » 23/05/2017, 22:56

Ti ringrazio dapprima per avermi detto come fare la corretta formula e poi per la correzione: ho iniziato a scrivere il post per poi terminarlo ore dopo ed avendo Cannato l' $1/2$ nella prima formula, con il copia e incolla sono venute tutte mancanti di quel fattore.

Il mio dubbio era appunto circa la validità del metodo di calcolo ma mi pare di capire che tu abbia detto che il mio ragionamento torni, quindi quei due specifici $Gamma $ dell'esempio siano nulli.

Per il resto si ora mi devo calcolare tutti i vari indici (molti dei quali nulli). In realtà nell'attesa della risposta avevo già provato a calcolare tutti i $Gamma $ con indice alto 0 e 1 e quindi mi rimangono gli indici 2 (ormai terminato) e 3.

Ps. Anche a me torna il tuo $ Gamma_(00)^0 $ solo che poi ho esplicitato il calcolo per giungere alla conclusione che
$ Gamma_(00)^0= a^'/a $ con $ a^' =(da)/(d eta) $
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