esercizio sul moto di particelle dentro un condensatore

[liuc99]

Tra le armature di un condensatore viene applicata una differenza di potenziale $ Delta V = 300 V $ . In un certo istante di tempo, un elettrone e un protone, situati in un punto equidistante dalle armature, iniziano a muoversi rispettivamente verso l'armatura positiva e quella negativa. Il protone possiede una velocità iniziale v0, mentre l'elettrone parte da fermo. Si osserva che le due particelle giungono in corrispondenza delle armature nello stesso istante t.
Calcola la velocità iniziale del protone.
Ho provato ad applicare sia la conservazione dell'energia sia le leggi della cinematica, ma non sono riuscito a venirne a capo.
Qualcuno mi potrebbe aiutare?

[RenzoDF]

Devi semplicemente uguagliare lo spazio percorso nel tempo to, per i due moti uniformemente accelerati, alla semidistanza fra le armature; dal moto dell'elettrone ti ricavi to e da to, via uguaglianza dei due spazi associati ai due moti, la vo.

[liuc99]

Allora io parto da $ s=1/2at^2 $ dove a è l'accelerazione dell'elettrone, s è lo spazio percorso, t è t0, e $ s=1/2a't^2+v0t $ , dove a' è l'accelerazione del protone e v0 la sua velocità iniziale. Di conseguenza ho $ 1/2at^2=1/2a't^2+v0t $ e quindi $ 1/(2t)(a-a')=v0 $ ; a questo punto come calcolo t? E l'accelerazione, sapendo che $ a=(qE)/m $ , diventa $ a=(qDelta V)/(m2s)$ ?

[RenzoDF]

Dalla prima relazione che hai scritto

$t=\sqrt{\frac{2s}{a}}$

dove l'accelerazione è l'ultima relazione da te scritta.

BTW Occhio a quell'errore di battitura nella relazione con la differenza delle accelerazioni.

[liuc99]

Allora da quella relazione ottengo \( v0=\frac{\Delta V}{4s}\sqrt \frac{2s}{a}\left(\frac{q_{e}}{m_{e}}-\frac{q_{p}}{m_{p}}\right) \) che, sostituendo ad a l'accelerazione dell'elettrone, diventa \( v0=\sqrt\frac{\Delta Vm_{e}}{4q_{e}}\left(\frac{m_{p}q_{e}-m_{e}q_{p}}{m_{e}m_{p}}\right) \) . A questo punto però svolgendo i calcoli non mi viene il risultato del libro (3,6 x 10^6 m/s), e non sono sicuro che le unità di grandezza siano giuste.

[RenzoDF]

La relazione da te ricavata è corretta (anche se riducibile) e a me i calcoli

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portano al risultato ufficiale.

[liuc99]

si ho ricontrollato e avevo messo le potenze del 10 sbagliate

[mgrau]

Non ho fatto i conti, ma, ragionando a spanne, tenendo conto che l'accelerazione del protone è 1800 volte meno di quella dell'elettrone, provo a pensare di approssimare il problema immaginando il protone in moto uniforme.
In questo caso, mi pare che, se la distanza da coprire è molto piccola, basta una velocità iniziale piccola, a causa della dipendenza quadratica dal tempo del moto dell'elettrone;

Graficamente, nella figura, l'intersezione fra la parabola (elettrone) e la retta (protone) rappresenta la nostra situazione: stesso percorso nello stesso tempo. Mi sembrerebbe evidente che l'inclinazione della retta (velocità del protone) dipende dallo spazio da percorrere, e per ogni spazio dato c'è una soluzione.
E' sbagliato il ragionamento, o è colpa dell'approssimazione (ma mi sembra strano)?

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[mgrau]

Faccio ammenda.
Avevo supposto che l'accelerazione dell'elettrone fosse nota, invece no, è proporzionale a $V/s$, il che giustifica alla fine la scomparsa di $s$ dal risultato finale.

[RenzoDF]

Non ho fatto i conti, ma, ragionando a spanne, ...

Ragionare a spanne è sempre pericoloso. ... come vedi i conti sono stati fatti e portano a quella soluzione, dove sta l'errore in quel metodo risolutivo?
Rivedendo quei passaggi troverai anche risposta al tuo dubbio.

... tenendo conto che l'accelerazione del protone è 1800 volte meno di quella dell'elettrone, provo a pensare di approssimare il problema immaginando il protone in moto uniforme. ...

Certo e anche questo è evidente dalla soluzione simbolica.

...In questo caso, mi pare che, se la distanza da coprire è molto piccola, basta una velocità iniziale piccola, a causa della dipendenza quadratica dal tempo del moto dell'elettrone; ...

Non vedo perché.

... Graficamente, nella figura, l'intersezione fra la parabola (elettrone) e la retta (protone) rappresenta la nostra situazione: stesso percorso nello stesso tempo.

Certo, quel grafico rappresenta la situazione, ma solo per una particolare distanza.

... Mi sembrerebbe evidente che l'inclinazione della retta (velocità del protone) dipende dallo spazio da percorrere, e per ogni spazio dato c'è una soluzione.

Non capisco perché, come dicevo quello è un grafico valido solo per una particolare distanza, se cambia la distanza cambia anche il grafico.

... E' sbagliato il ragionamento, o è colpa dell'approssimazione (ma mi sembra strano)?

Direi proprio che sia sbagliato il ragionamento, ma lascio a te scoprire perché.