Non si comprende che cosa tu intenda per fisica teorica, tuttavia,
per non fare il passo più lungo della gamba, ho pensato di proporti l'esempio sottostante.
Si consideri una fila di $[N+1]$ masse concentrate di massa $[m]$, passo $[a]$ e lunghezza $[l]$:
Nello spirito della discussione, la
densità microscopica è rappresentata dalla seguente distribuzione:
$[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] ^^ [Na=l]$
La
densità macroscopica si ottiene considerando la seguente funziona di prova, rappresentante la caratteristica dello strumento di misura:
$[varphi(x)=1/Delta] harr [|x-barx|<=Delta/2] vv [varphi(x)=0] harr [|x-barx|>Delta/2]$
ed integrando, per valutare la media effettuata dallo strumento di misura medesimo:
$[lambda_(macro)(barx)=\int_{-oo}^{+oo}varphi(x)lambda_(micro)(x)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=\int_{barx-Delta/2}^{barx+Delta/2}1/Delta\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=1/Deltam(Delta/a+O(1))] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=m/a(1+O(a/Delta))]$
Il termine $[O(a/Delta)]$ deve essere considerato per tener conto del fatto che, al variare di $[barx]$, il centro dell'operazione di media effettuata dallo strumento, a volte cade una massa puntiforme in più. Tuttavia, nello spirito della discussione, dato che $[a/Delta]$ è molto minore di $[1]$, si può senz'altro considerare $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$. Quindi, mediante la teoria delle distribuzioni, si può considerare una "
buona" funzione
densità macroscopica $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$ al posto di una "
cattiva" distribuzione
densità microscopica $[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)]$. Se si vuole raggiungere lo stesso obiettivo senza una rigorosa formalizzazione matematica, come, purtroppo o per fortuna, è giusto che sia in un manuale di fisica, si devono appunto utilizzare affermazioni un po' generiche del tipo "prendo un piccolo tratto $[Delta]$ di linea sufficientemente grande da contenere un elevato numero di masse puntiformi", a tutti gli effetti equivalenti all'operazione di media effettuata in precedenza.