Dubbio elettromagnetismo, d.d.p

[erik.lograsso]

Buonasera ragazzi, svolgendo svariati esercizi mi è sorto un dubbio che non riesco a spiegarmi o forse o la mente troppo stanca per il troppo studio. La differenza di potenziale viene definita come Delta(V) = - integrale da A a B di E scalare dl (scusate la scrittura in questo modo, non padroneggio ancora il LaTeX). Il mio problema è che non riesco a capire come mai nella maggior pare degli esercizi questa formula viene applicata per calcolare il potenziale, ma senza il meno, o meglio con i limiti di integrazione scambiati. Ad esempio da infinito ad R, come capita spesso nelle distribuzioni volumetriche di carica. Potreste illuminarmi? Se non mi sono spiegato bene, ditemelo che cerco di essere più chiaro. Vi ringrazio in anticipo.

[mgrau]

La differenza di potenziale viene definita come Delta(V) = - integrale da A a B di E scalare dl

Considera per es. una carica positiva.
Un' altra carica positiva di prova subisce una forza repulsiva. Il campo elettrico $vec E$ è diretto verso l'esterno.
Il potenziale di un punto A, $V(A)$, è definito come il lavoro, compiuto dal campo, nel portare una carica $q$ da A all'infinito, diviso $q$, quindi l'integrale che hai scritto, con B all'infinito. Risulta positivo, il campo compie lavoro.
Se prendi un punto B, più lontano di A dal centro, il suo potenziale, $V(B)$, definito allo stesso modo, sarà positivo, ma minore: partendo da più lontano, si ottiene meno lavoro.
La differenza di potenziale fra A e B, $V(A) - V(B)$, implica quindi un integrale da A all'infinito, positivo, meno un integrale da B all'infinito, pure positivo, ma minore, con un risultato netto positivo. In alternativa, un integrale da A all'infinito, PIU' un integrale da infinito a B, negativo, in modulo minore dell'altro. Quindi un percorso da A all'infinito, e dall'infinito a B.
Altra alternativa, dato che il campo è conservativo, e l'integrale fra due punti non dipende dal percorso, invece di fare una lunga deviazione verso l'infinito, possiamo andare da A a B direttamente, come nella tua definizione iniziale.
In conclusione. Io ti consiglierei di lasciar perdere le regole, ma di aver chiara la situazione. Spesso ci si confonde fra lavoro DEL campo e SUL campo. A volte non è evidente cosa è sottratto da cosa. Ma se pensi in termini di lavoro delle forze elettriche, il segno è chiaro.

[erik.lograsso]

Ho capito il tuo discorso, basta seguire il lavoro che fa il campo elettrostatico per portare una carica da un punto A ad un punto B. Sto provando ad applicarlo a due esercizi su cui ieri, al momento di calcolare la ddp mi sono bloccato, e anche ora non riesco o meglio, mi vengono risultati diversi. Posto il testo per capire meglio di cosa stiamo parlando:
Una carica $ q=1,5 \cdot 10^-8 C $ si trova nel piano mediano di una carica distribuita uniformemente con $ rho=10^-8 C/m^3 $ tra due piani paralleli indefiniti distanti 2 cm. Calcolare il campo elettrostatico in funzione di x dovuto alla carica distribuita.
E su questo non ci sono problemi. Ho trovato che all'interno: $ E(x)i=(rhox)/epsilon $ mentre all'esterno: $ E(x)e=(rhod)/(2epsilon $ . Entrambi li ho trovati applicando gauss, considerando prima un cilindro simmetrico rispetto al piano mediano con $ l>D $ e poi con lo stesso cilindro ma con $ 0<l<d $ .
Ora il secondo punto: Calcolare il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche per trasportare q in un punto P situato all'esterno della regione di carica e distante $ h=3 cm $ dal punto più vicino.
Allora per questo punto, è diciamo ovvio calcolare la d.d.p tra il punto di arrivo e il punto di partenza, e poi moltiplicarlo per il valore della carica per ottenere il Lavoro richiesto.
Considero $ DeltaV $ come $ - $ l'integrale da A a B di E scalare dl, ovviamente spezzettandolo in due, considerando che il campo all'interno è diverso da quello all'esterno, e integrando da 0 (punto dove si trova la carica, nel piano mediano) a d/2(punto sul piano esterno) e a cui sommo l'integrale del campo esterno da d/2 ad h. Probabilmente il mio errore è di considerare 0 il potenziale sul piano mediano, ma sinceramente sono un pò confuso, quindi potreste darmi una mano per comprendere meglio il concetto attraverso questo esercizio?

[mgrau]

Posta i calcoli, e il risultato che ti aspetti, e vediamo.
Due osservazioni.
1) Personalmente avrei lasciato perdere il potenziale, qui mi pare più semplice - anzi, in pratica la stessa cosa - trovare direttamente il lavoro integrando E.dl
2) non è che l'errore è dovuto a come interpreti h? Io ho capito che h è a 3cm dalla superficie esterna, non dal piano mediano, quindi il secondo integrale non è da d/2 ad h, ma da d/2 a d/2 + h (cioè, insomma, E * 3cm, il campo è costante)

[erik.lograsso]

Provo di nuovo i calcoli, stando attento a questo, in realtà hai ragione sui limiti di integrazione che esponi nel punto 2. Ora ti faccio sapere

[erik.lograsso]

Allora ho calcolato il potenziale all'interno:
$ V(0)-V(d/2)=int_{0}^{d/2}E_{i}\cdot dl=(rhod^2)/(8epsilon)=0,056 V $

All'esterno:
$ V(d/2)-V(h)=int_{d/2}^{h+d/2}E_{e}\cdot dl=((rho)/(2epsilon)\cdot (h^2+dh)/2)=0,424 V $

Quello totale dovrebbe venire $ DeltaV=0,4V $ e sommando come vedi non mi viene lo stesso risultato, o simile. Che ne pensi? qualche errore nei calcoli?

[mgrau]

E' sbagliato il secondo integrale, dove non c'è dh (h è costante) ma dl. In effetti è un prodotto E*h, e viene 6 volte il valore precedente, come puoi vedere dal disegno. Il risultato è 0.056 + 6* 0.056 = 0.39 V

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[erik.lograsso]

Quindi essendo il campo all'esterno costante posso tranquillamente calcolarlo come Eh? E questo vale per tutti i campi costanti giusto?

[erik.lograsso]

In pratica il secondo integrale he ho fatto io, sarebbe stato esatto nel caso in cui il campo all'esterno non fosse costante ma dipendesse da x (come all'interno) o sbaglio?

[mgrau]

Mah, non so. Ma perchè ti sembra importante?