Esercizio coefficiente d'attrito

[Avelyne]

Ho questo esercizio
Un disco posizionato orizzontalmente viene messo in rotazione attorno al proprio asse con un accelerazione angolare $dw/dt = 0.3rad/s^2$ partendo da fermo all'istante t=0. Quale é il coefficiente d'attrito della superficie del disco, sapendo che un oggetto appoggiato ad una distanza $R=5cm$ dal centro si distacca dalla posizione di riposo al tempo $t=7s$.

Io avevo pensato di fare $\mu$$mg = ma $ e poi trovare le accelerazioni centripeta e tangenziale. Ma i libro mi da:

$ma = mRdw/dt✓(((dw/dt)^2t^(-4)+1))$ ma non capisco ha trovato questa formula. Potete aiutarmi?

[Vulplasir]

Trovi la velocità angolare al tempo t=7s e imponi che l'accelerazione centripeta sia pari alla forza d'attrito. Il risultato del libro mi sembra del tutto sbagliato.

[Shackle]

Trovi la velocità angolare al tempo t=7s e imponi che l'accelerazione centripeta sia pari alla forza d'attrito. Il risultato del libro mi sembra del tutto sbagliato.

Occhio Vulplasir, c'è anche una accelerazione tangenziale , il moto non è circolare uniforme. La forza apparente di trascinamento , nel riferimento rotante, non è solo la forza centrifuga.

[Avelyne]

So che l'accelerazione tangenziale é $dw/dtR$ e quella centripeta $w^2R ->( dw/dt)^2t^2R$ giusto? Ma perché mette la radice(per il modulo dell'accelerazione?) Non ho capito come trova il t^(-4). Inoltre a di trascinamento quelle sarebbe? La a tangenziale?

[Avelyne]

Inoltre ho un altro esercizio uguale. Dove cambia solo $dw/dt$ il quale viene svolto sono con l'accelerazione centripeta ponendo $μmg = ma = m(dw/dt)^2t^2R$ non capisco come mai vengano svolti così diversamente
Grazie per le risposte

[Shackle]

La piattaforma rotante ha una accelerazione angolare $\alpha = dot\omega = "cost"$ , quindi la velocità angolare , visto che per $t=0 $ si ha $\omega(0) = 0 $ , è crescente nel tempo con legge :

$omega = \alpha t $

nel riferimento rotante, la forza apparente centrifuga ha modulo $F_c = mR\omega^2 = mR (alphat)^2$ , che dipende dal tempo.

La forza apparente tangenziale ha modulo : $F_t = m\alphaR $ , che non dipende dal tempo .

LA forza totale di trascinamento ha modulo : $ F_"tot" = sqrt ( F_c^2 + F_t^2) $ .

Affinché la massa $m$ rimanga in equilibrio nel sistema rotante , la forza di attrito deve equilibrare la forza di trascinamento totale :

$vecF_a + vecF_c + vecF_t = 0 $

Guarda la figura allegata :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Quindi il coefficiente di attrito deve essere :

$ \mu = 1/g\alphaR sqrt(\alpha^2 t^4 + 1 ) $

la radice ha dimensioni fisiche pari a zero, come deve essere .

[Avelyne]

Oh.. ora ho capito. Vi ringrazio per il tempo speso! Buona giornata.

[Shackle]

Faccio una piccola, ma doverosa, rettifica . Nel disegno, ho scritto che il modulo della forza di attrito vale :

$|vecF_a| = \mumg $

in realtà , questo è il valore della forza massima di attrito che il piano può esercitare su $m$ per tenerla in equilibrio, cioè in quiete nel sistema rotante . La piattaforma accelera angolarmente aumentando la velocità angolare da zero in maniera lineare ($omega = alphat $ ), la forza di trascinamento aumenta in modulo ( come detto, è la forza centrifuga soltanto che aumenta col tempo, quella tangenziale no) e cambiando direzione.
PEr cui la resistenza di attrito aumenta anch'essa in modulo, fino al valore massimo che è appunto : $F_a(max) = mumg $.

Dunque, in ogni istante del moto , prima che $m$ si muova , deve essere $F_a = |vecF_a| = |vecF_"tot"| $ , ma questo valore istantaneo è minore del massimo .

Il coefficiente di attrito si trova imponendo la condizione finale già scritta , e solo in questo instante di tempo $t=7s$ la forza di attrito assume il suo valore massimo $mumg$ .

Ho ritenuto giusto precisarlo, altrimenti gli studenti potrebbero essere indotti , erroneamente , a credere che la forza di attrito statico valga sempre $mumg$ : è vero solo quando l'attrito non ce la fa più a tenere $m$ in quiete.

[Avelyne]

Grazie!