Ruota con punto materiale

Messaggioda cucinolu95 » 11/06/2017, 11:03

Buongiorno a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere questo problema.
Una ruota, assimilabile ad un disco omogeneo, di massa M e raggio R, al bordo del quale è rigidamente unito un punto materiale P, di massa m=M/2, è vincolata a muoversi di moto di puro rotolamento su binario orizzontale fisso, giacendo sempre in un piano verticale. La ruota, inizialmente in quiete, è abbandonata nella configurazione in cui P si trova alla stessa quota del centro O della ruota. Calcolare:
1) velocità angolare quando P tocca il binario

Allora io ho pensato di risolvere il problema utilizzando la conservazione dell'energia. inoltre ho pensato che a causa del punto materiale P il centro di massa del sistema non coincidesse con il centro della ruota e ho calcolato la nuova posizione, rispetto al centro della ruota, come:
xcm= (mR)/(m+M)

applicando il principio di conservazione ho scritto
Ekf=mgh dove h vale R Eki= 0 perchè il sistema è in quiete.
ho un problema nello scrivere quanto vale l'energia cinetica, ho pensato di scriverla in questo modo riferendomi al centro della ruota e applicando il th di Koenig:
$ Ek=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2Iw^2 $
il momento di inerzia ho pensato di scriverlo riferendomi al centro della ruota, come:
$ I=1/2MR^2 + mR^2 $ .
nell'equazione della conservazione posso poi sostituire $ Vcm=w(r-xcm) $
Ho risolto nella maniera corretta?
Spero che qualcuno possa aiutarmi, in ogni caso grazie mille in anticipo :)
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda professorkappa » 11/06/2017, 14:30

Direi di no, a occhio.
Il momento di inerzia lo devi scrivere rispetto al centro di massa. Che dista una distanza d dal centro della ruota (distanza da te giustamente calcolata).
Quindi $I_[cm]=MR^2/2+Md^2+m(R-d)^2$
Poi devi aggiungere il contributo della velocita' del centro di massa $1/2(M+m)omega^2(R-d)^2$.
Alla fine dei conti, nell'eq. dell' en. cin. totale il contributo di m si dovrebbe eliminare, perche quando passa per la verticale, m e' ferma.

Quindi, per evitarmi il facchinaggio algenrico pesante, io scriverei direttamente tutto rispetto al centro della sfera, e l'energia cinetica totale dovrebbe essere $1/2Mv_c^2+1/2MR^2/2omega^2=1/2Momega^2R^2+1/4Momega^2R^2=3/4Momega^2R^2$ che come vedi non include m.

Dovrei mettere giu' una figura per esser certo al 100%, perche' lo sto facendo "a mente", che' non ho carta a portata di mano, ma mi sembra che sia cosi e qualcuno sicuramente mi correggera' se sbaglio.
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda cucinolu95 » 12/06/2017, 10:28

Sempre grazie mille per le risposte molto chiare.
Il problema ha una seconda domanda che chiede di determinare la velocità angolare quando il punto P si trova ad una quota rispetto a terra pari a R/2.
Credo che si debba procedere alla stessa maniera; con la conservazione dell'energia meccanica, quindi:
Energia potenziale = energia cinetica
Ho dei problemi sempre per scrivere l'energia cinetica.
Mi servo del th di koenig e quindi scrivo energia cinetica del centro di massa + energia cinetica rispetto al centro di massa, quindi analiticamente :
$ Ek=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2 Iw^2 $
la Vcm la scrivo come $ Vcm=w*(d) $ e il momento di inerzia lo devo calcolo rispetto al centro di massa. Così facendo però non riesco ad arrivare alla soluzione. In questo caso il contributo della massa m lo devo considerare perchè in moto, non si trova nel punto di contatto tra ruota e piano.
La conservazione dell'energia la scrivo in questo modo:
$ M/2gR/2=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2 Iw^2 $
Dove sbaglio? :cry:
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda professorkappa » 12/06/2017, 19:34

No. Il centro di massa non ha quella velocita'. Lo sarebbe se fosse un disco che gira attorno a un'asse fisso. Ma il centro della sfera si muove, quindi $vecv_[cm]=omegaRveci+vecomegaxxvecd$. La difficolta' (non tanta) sta a trovare il modulo di $v_[cm]$.
Prova a risolvere, e se non ce la fai ti diamo la soluzione.
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda Vulplasir » 12/06/2017, 20:00

In ogni istante la ruota "ruota" attorno al punto di contatto, non c'è bisogno del teorema di koenig
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda cucinolu95 » 13/06/2017, 10:12

Grazie mille per i suggerimenti!
un'ultima domanda, il momento di inerzia lo devo calcolare rispetto a quale polo? mi confonde il dover introdurre, questa volta, il contributo della massa m
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda cucinolu95 » 13/06/2017, 11:04

Se provo a calcolare il momento di inerzia rispetto al punto di contatto tra ruota e piano devo considerare il th di steiner per il disco, però non capisco come considerare la massa m, come calcolo la distanza di m dal mio polo?
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda Vulplasir » 13/06/2017, 11:22

La distanza della massa m dal polo si calcola con un po' di geometria
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda cucinolu95 » 13/06/2017, 11:33

Scusa ma non ci arrivo, magari non ricordo qualche nozione di base. Mi sembra di conoscere solo una dimensione, quella della quota del punto m, R/2, non ho nient'altro. cosa mi sfugge? è nota a priori qualche altra dimensione?
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Re: Ruota con punto materiale

Messaggioda Vulplasir » 13/06/2017, 11:55

Sai che il punto è attaccato alla ruota (quindi quanto dista radialmente dal centro della ruota?, usa un po di trigonometria se proprio non ce la fai senza) fai un disegno e vedi un po'...ti è stato dato anche un caso semplice in cui dista R/2 dal suolo, prova a vedere quanto vale la distanza dal punto di contatto se distasse $h$ generico dal suolo
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