Una sfera conduttrice S1, di raggio R1 = 10 cm, è circondata da un guscio sferico conduttore S2, concentrico con S1, di raggi R2 = 20 cm ed R3 = 25 cm. Il potenziale elettrostatico nei punti P e Q distanti rispettivamente RP = 15 cm ed RQ = 30 cm dal centro del sistema vale VP=2.2 kV e VQ =1 kV . Determinare:
a) le cariche presenti sulle tre superfici conduttrici di raggi R1, R2 , R3 .
Ad un certo istante S1 viene collegata ad S2 con un sottile filo conduttore come in figura. Ad equilibrio elettrostatico raggiunto, determinare:
b1) il potenziale nei punti P e Q;
b2) l’energia elettrostatica del sistema.
Questa è l'immagine: http://imgur.com/a/7a5lf
Vi spiego come ho cercato di risolverlo:
Innanzitutto ho indicato con $ S1 $ la superficie della sfera conduttrice, con $ S2 $ la superficie interna del guscio sferico e con $ S3 $ la superficie esterna del guscio sferico. Essendo due conduttori uno dentro l'altro so che sulla superficie $ S1 $ sarà presente una carica $ Q1 $, sulla superficie $ S2 $ una carica $ -Q1 $ e sulla superficie esterna una carica $ Q1 $. Ho calcolato il valore delle cariche con la formula del potenziale e precisamente, nel punto Q ho posto il potenziale all'infinito uguale a zero e ho utilizzato la formula:
$ Vq=- \int_{oo}^{Rq} Edr= -\int_{oo}^{Rq} \frac{1}{4\pi \epsilon0}\frac{Q3}{r^{2}} $
Facendo un pò di calcoli e isolandomi Q3 mi esce:
$ Q3=3,70x10^{-7}C $
Ho utilizzato Q3 perchè il problema non specifica se sulla superficie esterna è presente anche un'altra carica oltre a quella data dall'interazione con il guscio conduttore.
Il punto Rv si trova tra $ S1 $ ed $ S2 $, quindi:
$ V(Rp)-V(R2)=\int_{Rp}^{R2}=\frac{Q1}{4\pi \epsilon0 r^{2}} $
Dove per Q1 intendo la carica presente su $ S1 $
$ V(R2)=\frac{Q2}{4\pi \epsilon0 R2} $
So che: Q1=-Q2 dato che Q2 è la carica presente sulla superficie interna del guscio data dall'interazione con la sfera.A questo punto ho scritto la seguente formula:
$ V(Rp)=\int_{Rp}^{R2} \frac{Q1}{4\pi \epsilon0 r^{2}}dr - \frac{Q1}{4\pi \epsilon0 R2} $
Svolgendo un pò di calcoli ho trovato che:
$ Q1=-2,79x10^{-8}C $
Quindi so che:
Sulla superficie $ S1 $ si ha una carica $ Q1=-2,79x10^{-8}C $
Sulla superficie $ S2 $ si ha una carica $ Q2=2,79x10^{-8}C $
Sulla superficie $ S3 $ si ha una carica $ Q4=Q1+Q3= -2,79x10^{-8}+ 3,70x10^{-7}=3,42x10^{-7} $. Ho messo Q4 perchè avendo notato che Q3 non è uguale a Q1 vuol dire che era già presente una carica sulla superficie esterna.
I due conduttori si collegano, hanno stesso potenziale ma avviene una distribuzione di cariche, quindi uguaglio i potenziali:
$ \frac{Q1}{4\pi \epsilon0 R1}= \frac{Q4}{4\pi \epsilon0 R3} $
Dovendo trovare le due cariche ho bisogno di un'altra condizione per risolvere il problema, avevo pensato di utilizzare:
$ Q3=Q1+Q4 $
Ma non sono per niente sicuro. Poi mi spiegate cosa significa trovare l'energia elettrostatica del sistema.
Scusate per il "fastidio" che vi do, e un $ oo $ grazie a chi mi aiuterà. Giuro che lo bacio chi mi aiuta :*
