Elettromagnetismo: Legge di Gauss

[Andrea@BS]

Salve a tutti.
Il problema dice:
Una carica +q, distribuita uniformemente su una sfera isolante di raggio a, è posta internamente e concentrica ad un guscio conduttore sferico avente raggio interno b e raggio esterno c. Sul guscio esterno è presente una carica totale -q. Si determini l'espressione del campo elettrico a distanza r dal centro della sfera. Quale carica è presente sulle superfici interna ed esterna del guscio?

Ciò che ho fatto è calcolare il campo in base al valore di r della superficie gaussiana:
- $0<=r<=a$
Flusso del campo elettrico è dato dalla sommatoria delle cariche interne diviso la costante diaelettrica del vuoto, a sua volta la sommatoria delle cariche interne è uguale alla densità volumetrica della mia sfera per il volume della superficie gaussiana.
Il flusso del campo elettrico è anche uguale all'integrale del campo elettrico E(r) per la sua superficie infinitesima; visto che la superficie di una sfera è data da $4*pi*r^2$ posso uguagliare e ricavo il campo elettrico $E(r)=(q*r)/(4*pi*epsilon*a^3)$
Fino a qui dovrebbe essere tutto corretto. Il mio problema sorge ora.
- $a<r<=b$
ciò che ho fatto è lo stesso procedimento del caso precedente con la differenza che la sommatoria delle cariche interne è data da densità volumetrica per il volume. La densità volumetrica è data da $q/V$. Visto che il volume da considerare è quello tra a e b quello che ho fatto è dividere la carica q per il volume della sfera compreso tra a e b dunque $(q*r)/(4/3*pi*(b^3-a^3)$ che, moltiplicato per il volume della superficie gaussiana risulta $(q*r^3)/(b^3-a^3)$ e uguagliato al campo E(r) moltiplicato per $4*pi*r^2$ ricavo il valore del campo $E(r)=(q*r)/(4*pi*epsilon*(b^3-a^3)$.
Quest'ultimo risultato è sbagliato, l'esercizio lo ha fatto anche il mio docente in aula e ciò che lui fa è semplicemente uguagliare il campo E(r) moltiplicato per la superficie della sfera alla sommatoria delle cariche interne fratto la superficie diaelettrica del vuoto ma non capisco del perché non tenga conto che il volume da considerare è solo quello tra a e b.

Qualcuno sarebbe in grado di indirizzarmi verso la strada corretta per risolvere questa tipologia di esercizi visto che sono i primi che affronto?
Mi sono anche fatto delle domande (che possono non avere alcun senso). Non è che c'entra qualcosa che la sfera sia isolante e il guscio conduttore? Ciò che so è che in un materiale isolante le cariche non sono libere di muoversi mentre in quello conduttore sì e ciò non mi aiuta.
Altra domanda è: è visto che all'interno di un conduttore il campo è 0 è corretto dire che il campo della superficie gaussiana $b<r<c$ è nullo? Perché anche per $r>=c$ il campo è nullo? Data l'ultima domanda di questo problema "Quale carica è presente sulle superfici interna ed esterna del guscio" il mio libro risponde così: "la carica -q si distribuisce sulla superficie interna del guscio, la carica sulla superficie esterna è nulla". Questa risposta è per la presenza della carica positiva interna alla sfera che attrae le cariche negative? Sapreste darmi una risposta più esauriente?

Grazie, chiedo scusa per la lunghezza della domanda ma ho bisogno di capire bene la Legge di Gauss che da quanto ho capito, insieme alle altre 3 leggi di Maxwell, è un argomento super importante ai fini di capire qualcosa nell'elettromagnetismo.

[anonymous_0b37e9]

Visto che il volume da considerare è quello tra a e b ...

Veramente, il volume da considerare è quello in cui è presente la carica interna, il volume della sfera isolante per intenderci. Ad ogni modo, la carica interna vale $q$, non è necessario pensarla come $[q/V*V=q]$.

... ma non capisco del perché non tenga conto che il volume da considerare è solo quello tra a e b.

Temo che tu non abbia compreso adeguatamente i contenuti in questione. Insomma, stai commettendo un grave errore concettuale. Talmente grave da poter pensare che anche il calcolo del campo elettrico all'interno della sfera isolante sia stato condotto senza la necessaria consapevolezza.

[Andrea@BS]

La logica di questi esercizi l'ho capito meglio guardando vari esercizi fatti durante il corso, ma quell'esercizio continua ad essere un punto di domanda!!
Nella domanda infatti ho chiesto se qualcuno fosse in grado di darmi una visione più chiara e ampia di ciò che ho scritto (cercando di mettere in chiaro le mie carenze)
Che era sbagliato che ciò che ho scritto lo sapevo, altrimenti non avrei nemmeno provato a chiedere aiuto.

[mgrau]

Il mio problema sorge ora.
- $a<r<=b$
ciò che ho fatto è lo stesso procedimento del caso precedente con la differenza che la sommatoria delle cariche interne è data da densità volumetrica per il volume. La densità volumetrica è data da $q/V$. Visto che il volume da considerare è quello tra a e b quello che ho fatto è dividere la carica q per il volume della sfera compreso tra a e b dunque $(q*r)/(4/3*pi*(b^3-a^3)$ che, moltiplicato per il volume della superficie gaussiana risulta $(q*r^3)/(b^3-a^3)$ e uguagliato al campo E(r) moltiplicato per $4*pi*r^2$ ricavo il valore del campo $E(r)=(q*r)/(4*pi*epsilon*(b^3-a^3)$.

Provo a vedere se riesco a illuminarti.
Non ho capito tanto il tuo procedimento, ma guarda che la situazione è semplicissima: fra a e b, NON ci sono cariche, quindi la carica da considerare è quella già trovata, è tutta quella che sta nella sfera a. Siccome la superficie della sfera con raggio compreso fra a e b aumenta col quadrato del raggio, la carica interna è sempre la stessa, allora il campo varia come $1/r^2$, esattamente come per una carica puntiforme.
Poi, fra b e c (dentro il conduttore) il campo è nullo, e oltre c come prima, $1/r^2$ ora però la carica è quella totale, quella su a + quella su c (che, con i dati forniti, dà zero)
Ti lascio le risposte riguardanti le cariche presenti sulle tre superfici.

[anonymous_0b37e9]

Premesso che il campo gode di simmetria sferica, quando $[a lt r lt b]$ la carica interna alla superficie di Gauss (una sfera il cui centro è il centro di simmetria e il cui raggio è $r$) è solo quella della sfera isolante di raggio $a$. Quindi:

$[\Phi(vecE)=4\pir^2E] ^^ [\Phi(vecE)=q/\epsilon_0] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)q/r^2]$

Insomma, non si comprende il motivo per cui ritieni necessario calcolare il volume dello spazio compreso tra la sfera di raggio $a$ e la sfera di raggio $b$: questo spazio è vuoto, perché dovresti preoccupartene?

... visto che all'interno di un conduttore il campo è 0 è corretto dire che il campo della superficie gaussiana $b<r<c$ è nullo?

Certamente.

Perché anche per $r>=c$ il campo è nullo?

Per il teorema di Gauss, quando $[r gt c]$:

$[\Phi(vecE)=4\pir^2E] ^^ [\Phi(vecE)=(q-q)/\epsilon_0=0] rarr [E=0]$

"Quale carica è presente sulle superfici interna ed esterna del guscio" il mio libro risponde così: "la carica -q si distribuisce sulla superficie interna del guscio, la carica sulla superficie esterna è nulla". Questa risposta è per la presenza della carica positiva interna alla sfera che attrae le cariche negative? Sapreste darmi una risposta più esauriente?

Per il teorema di Gauss, quando $[b lt r lt c]$:

$[vecE=0] rarr [\Phi(vecE)=(q+q_b)/\epsilon_0=0] rarr [q_b=-q] rarr [q_c=0]$

[Andrea@BS]

Grazie mille davvero a entrambi @anonymous_0b37e9 e mgrau. Risposte chiarissime!!!!