Problema di spira vicina a filo percorso da corrente

[Mimmo189]

Una spira quadrata conduttrice, di lato a = 8 cm, resistenza R = 1 mΩ e induttanza L= 30 μH , si trova a distanza do = 10 cm da un filo rettilineo indefinito (vedi figura). In tale filo, nell'intervallo di tempo 0<t<50 ms, scorre una corrente di intensità I(t) = A(to- t) diretta verso l’alto, con A = 80 A/s e to 50 ms e poi tale corrente si annulla.
Determinare:
a) il modulo e il verso della corrente indotta is(t) nella spira in funzione del tempo per 0<t<1 s;
b) l'espressione della forza F(t) con la quale la spira deve essere trattenuta nella sua posizione e il suo valore (modulo, direzione e verso) a t= 40 ms.

Allora, io ho proceduto così:

- Calcolo del flusso magnetico: $ int_(d_0)^(d_0+c) B\cdot dA \cdot dx = ...=(mu _0\cdot I\cdot a)/(2pi)\cdot log((d_0+c)/d_0) $
- Calcolo fem indotta nell'intervallo desiderato: $ epsilon _s= int_(t=0)^(t=1) -(dphi _b)/d_t=int_(t=0)^(t=1)-(mu _0A(t_0-t)a)/(2pi dt)\cdot log((d_0+c)/d_0) dt =...= (mu _0At_0a)/(2pi )\cdot log((d_0+c)/d_0) $

Per cui la corrente indotta in quel lasso di tempo vale: $ i_S=epsilon _s/R $

Su questo punto ho qualche dubbio riguardo al calcolo della fem indotta e anche sulla risoluzione dell'integrale.

Per il punto B invece ho le idee molto confuse, non so come calcolare la corrente e la forza a 40 ms.

Chiedo il vostro aiuto, grazie.

[RenzoDF]

Ok per il flusso concatenato¹ (typo $dAdx$ a parte nel primo integrale), ma per la forza elettromotrice devi semplicemente derivare il flusso concatenato, distinguendo il calcolo per i due intervalli 0 < t < 50ms e t > 50ms, non ha senso integrare la derivata.

Non corretto nemmeno il calcolo della corrente, il circuito associato alla spira è ohmico induttivo e quindi dovrai tener conto dei valori iniziali is(0-) e della costante di tempo L/R al fine di determinare l'evoluzione temporale della corrente, sempre distinguendo il calcolo sui due suddetti intervalli temporali.

Non capisco poi quella c, visto che il lato ha lunghezza a.

Determinata is(t) sarà poi semplice determinare la forza ricordando che la sua funzione temporale la puoi ottenere via Lorentz $\vec F=I \vec L \times \vec B$ (e quindi presente solo nel primo intervallo temporale), notando che i due soli lati che danno contributo alla forza complessiva sono quelli paralleli al conduttore indefinito.

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Note

1. Supponendo che $d_o$ sia la distanza del filo dal lato più vicino. ↑

[Mimmo189]

Ok grazie, vedrò di rivedere un po' tutto.