Problema lavoro di sistema termodinamico

[Gogos07]

Buonasera, sono un nuovo membro di questo bel forum che già in passato mi è stato d'aiuto (sebbene non iscritto) per la risoluzione di alcuni esercizi di fisica. Vorrei sottoporvi questo problema di termodinamica che mi sta dando dei grattacapi:
La figura 2 rappresenta una sezione verticale di un dispositivo immerso nell’atmosfera, costituito da un recipiente A solidale ad un sostegno fisso e da un recipiente B sostenuto
nel modo indicato: in A e B sono contenute nA e nB moli di un gas perfetto monoatomico. Tutte
le pareti dei recipienti sono isolate (termicamente). I due pistoni, entrambi di sezione S e massa m, possono scorrere verticalmente senza attrito. Il sistema è in equilibrio e in A e B la temperatura vale T0, e i volumi VA,0 = VB,0.
a) Si determini la differenza pB,0 − pA,0 tra le pressioni in A e B.
b) La massa del recipiente B (escluso il pistone) è mB: quanto valgono pA,0 e pB,0?
c) Sopra il pistone che chiude B si aggiungono dei pesi, uno alla volta e sufficientemente piccoli per poter considerare la trasformazione reversibile, fino a raddoppiare la massa del pistone in questione; si calcolino i volumi finali VA e VB di A e B, le due temperature TA e TB e il lavoro compiuto complessivamente dalle forze peso che agiscono sull’intero sistema.
I dati numerici sono: S = 1.8 dm2
; m = 16 kg ; mB = 9 kg ; T0 = 300 K ; VA,0 = 2.5 l.
Vi allego sotto la foto della situazione descritta.
Ho risolto tutti i punti del problema, ma non riesco a trovarmi il lavoro delle forze peso. Ho pensato di porlo uguale alla differenza di energia interna del gas in A e B ma non è questa la soluzione. Spero possiate darmi qualche utile suggerimento.

[anonymous_0b37e9]

Ho risolto tutti i punti del problema ...

Meglio confrontare i risultati. Anche se è possibile procedere senza (è sufficiente sommare membro a membro le prime due equazioni), indicando con $R$ lo sforzo interno della sbarra che unisce i due pistoni:

1. Condizione di equilibrio per il pistone A:

$R+P_0S-P_AS-mg=0$

2. Condizione di equilibrio per il pistone B:

$-R-P_0S+P_BS-mg=0$

3. Condizione di equilibrio per il recipiente B:

$P_0S-P_BS-m_Bg=0$

Risolvendo il sistema:

$\{(R+P_0S-P_AS-mg=0),(-R-P_0S+P_BS-mg=0),(P_0S-P_BS-m_Bg=0):} rarr \{(P_A=P_0-g/S(m_B+2m)),(P_B=P_0-g/Sm_B),(R=-(m_B+m)g):}$

Quindi, la sbarra è un tirante e la trasformazione del gas contenuto nel recipiente B una isobara reversibile (seconda parte del problema).

[Gogos07]

Sì anch'io ho svolto il primo punto descrivendo le forze agenti sul sistema. Per il secondo punto ho pensato che il gas in A compisse una trasformazione adiabatica reversibile. La pressione in A nel caso della massa addizionale la ricavo da equazioni identiche a quelle ricercate nel primo punto del problema. Ora ho tutto per poter utilizzare le equazioni di Poisson e ricavarmi volume e temperatura finali. Per il gas in B ho considerato la trasformazione sempre adiabatica reversibile. Qui applicando le formule di Poisson trovo che la pressione, il volume e di conseguenza la temperatura rimangono invariati anche con l'aggiunta di massa al pistone.

[anonymous_0b37e9]

Per il gas in B ho considerato la trasformazione sempre adiabatica reversibile ...

Per quale motivo?

[Gogos07]

Ho pensato alle pareti adiabatiche del recipiente.

[anonymous_0b37e9]

Ok, ma dei pistoni non dice nulla. Ad ogni modo, le pressioni finali sono:

$\{(P_A=P_0-g/S(m_B+3m)),(P_B=P_0-g/Sm_B):}$

Per determinare volumi e temperature (al netto delle due equazioni di stato), è sufficiente scrivere altre due equazioni. Poiché il recipiente B non si sposta, la somma algebrica delle due variazioni di volume deve essere nulla. Poiché la trasformazione è reversibile, anche la variazione di entropia complessiva deve essere nulla. Per essere sicuri che la strada sia quella giusta, sarebbe meglio se postassi le soluzioni.

P.S.
Supporre i pistoni non adiabatici presenta un problema in relazione alla temperatura dell'ambiente (non assegnata). Tuttavia, se non ti tornano i risultati, si può sempre provare interpretando il problema diversamente. Ad ogni modo, che la pressione finale nel recipiente B sia uguale a quella iniziale non ci piove: come può essere una trasformazione adiabatica reversibile?

[Gogos07]

Queste sono le soluzioni fornite dal testo
a) pB,0 − pA,0 = 0.172atm
b) pB,0 = 0.952atm * pA,0 = 0.780atm
c) VA,f = 2.68l * TA,f = 286K * VB,f = VB,0 * TB,f = T0 * Lf.peso = 4.74J

PS. I risultati numerici si trovano, non so se l'interpretazione sul recipiente B sia corretta; ad ogni modo sono abbastanza sicuro che in A la trasformazione sia adiabatica in quanto i numeri mi dicono che è giusto applicare le relazioni di Poisson. Per il recipiente B, avendo notato con il tuo stesso ragionamento che la pressione non variava, ho applicato allo stesso modo le relazioni di una trasformazione adiabatica (a questo punto direi superficialmente).
Il lavoro delle forze peso è l'incognita che non saprei proprio risolvere, ma a questo punto credo che bisogni prima interpretare correttamente le trasformazioni che avvengono sui gas.

[anonymous_0b37e9]

Ok. Se leggo bene, il volume e la temperatura di B non cambiano. Quindi, non cambia nemmeno la pressione. Tuttavia, cambiando il volume di A, il recipiente B si dovrebbe spostare. Insomma, sono stato un po' troppo precipitoso. Ci devo pensare.

P.S.
Ad ogni modo, hai provato a calcolare il lavoro della forza peso conoscendo tutte le coordinate termodinamiche finali? Non dovrebbe presentare particolari difficoltà. Basta calcolare la variazione di energia potenziale gravitazionale.

P.S.
A questo punto, possiamo tranquillamente supporre due adiabatiche reversibili (pistoni adiabatici), degenere quella relativa al recipiente B. In questo modo, non è necessario imporre la variazione complessiva di entropia uguale a zero, essendolo a priori.

[Gogos07]

Ho pensato di calcolare il lavoro delle forze peso come il lavoro compiuto dal gas in A e B (potrei anche ricavarlo come variazione di energia potenziale gravitazionale conoscendo la variazione di quota del sistema, ma sul pistone B la massa è variabile nel tempo e non so gestire questa condizione). Ritornando al lavoro sui gas, il gas in B non compie lavoro di volume. Il gas in A invece si espande; non scambiando calore con l'esterno (nella mia ipotesi) L=-∆U=-nR∆T. Ora il numero di moli posso trovarlo dall'equazione di stato del gas, T iniziale e finale già lì ho... Ma niente, non mi trovo con il risultato fornito!

[anonymous_0b37e9]

... ma sul pistone B la massa è variabile nel tempo ...

Hai ragione, non ci avevo pensato. Coraggio, prima di morire, se non mi viene l'Alzheimer, dovrei riuscire a calcolarlo.
Riassumendo:

1. I pistoni sono adiabatici.

2. Le trasformazioni sono adiabatiche reversibili (quella relativa al recipiente B si riduce a un punto).

3. Conoscendo le pressioni finali:

$\{(P_A=P_0-g/S(m_B+3m)),(P_B=P_0-g/Sm_B):}$

è possibile determinare volumi e temperature finali.